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《(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、(二)直线与圆锥曲线(2)131．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C：y＝－x2，点A，B在抛物线上，且横坐标分别为－，，22抛物线C上的点P在A，B之间(不包括点A，点B)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP的斜率k的取值范围；(2)求
2、PA
3、·
4、PQ
5、的最大值．解(1)由题意可知Aæç11ö÷，Bæç39ö÷2424è－，－øè，－ø，13设P(x，－x2)，－6、APykx1k1：直线BQx24＋＋－＝0，93kykìïy42＝＋－，11kxk联立í24可知，＋＋－＝0，ïîxky93k42Qx3－4k－k2点的横坐标为＝，Q2k2＋27、PQ8、＝1＋k2(x－x)QP＝1＋k2çèæ3－4k－k21ö＋k－÷2k2＋22ø＝1＋k2，(k－1)2(1＋k)æ1ö9、PA10、＝1＋k2çx＋÷＝1＋k2(1－k)，èP2ø所以11、PA12、·13、PQ14、＝(1－k)3(1＋k)，令f(x)＝(1－x)3(1＋x)，－115、，x1fx当－1<<－时，′(2)>0，1xfx当－<2<1时，′()<0，fxæç1ö÷çæ1ö÷故()在è－1，－ø上单调递增，在è－，1ø上单调递减．故f(x)＝fæç22－＝1ö÷27，maxPAè2ø16PQ27即16、17、·18、19、的最大值为.16x2y212．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，离心率为，圆O：x2＋a2b22y2＝c2，A，A是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，△AAB面积的最大值为2.121(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)若l为圆O的任意一20、条切线，l与椭圆C交于两点P，Q，求21、PQ22、的取值范围．解(1)设B点到x轴距离为h，则S＝2S1AO23、·h＝a·h，AAB1＝2··24、A1OB21易知当线段AB在y轴时，h＝25、BO26、＝c，∴S＝a·c＝2，maxc1eAAB1a∵＝＝，2∴a＝2c，∴a＝2，c＝1，b＝3，x2y2∴椭圆C的方程为4＋3＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，求得27、PQ28、＝3；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，∵直线为圆的切线，∴d＝29、m30、＝1，1＋k2∴m2＝k2＋1，ìïy＝kx＋m31、，联立íx2y2ïî4＋3＝1，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，判别式Δ＝48(3k2＋2)>0，íìïx＋x＝－8km，124k2＋3由根与系数的关系得，ïîx·x＝4m2－12124k2＋3∴弦长32、PQ33、＝1＋k234、x－x35、1243·1＋k2·3k2＋2k＝，42＋3令t＝4k2＋3≥3，æ1ö2æ46ù则36、PQ37、＝3·－çèt÷ø2＋t＋3∈çè3，3úû.PQéê46ùú.综上，38、39、∈ë3，3û3．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆：＋＝1(>>0)的离心率为x2y2Cab3，短40、轴，点为MNP→PM→PN＝15.a2b22(4,0)满足·(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线l与椭圆交于点A，B，是否存在常数λO→AO→BλP→AP→Bλ的值；若不存在，请说明理由．，使得·＋·为定值？若存在，求出→→解(1)PM·PN＝(－4，b)·(－4，－b)＝16－b2＝15，所以b＝1，ca2－b23又＝＝，所以a2＝4，aa22x2从而椭圆C的方程为4＋y2＝1.(2)当l不为x轴时，设l：x＝my＋4，A(x，y)，B(x，y)．1122联立l与C的方程可得(m2＋4)y2＋41、8my＋12＝0，所以y＋y＝－8m，yy＝12，12m2＋412m2＋4→OA→OBλP→AP→Bxx＋yy＋λ[(x－4)(x－4)＋yy]·＋·＝12121212＝(1＋λ)(1＋m2)yy＋4m(y＋y)＋161212(12λ－20)m2＋12(λ＋1)m＝＋16.＋·为定值，2＋4因为·→OA→OBλP→AP→B12λ－2012(1＋λ)所以1＝4，2380解得λ＝9，此时定值为3.当l为x轴时，A(－2,0)，B(2,0)．→OA→OBλP→AP→B2380·＋·＝－4＋9·12＝3.23综上，存在λ→OA42、→OBλP→AP→B80＝9，使得·＋·为定值3.4．(2018·宿州质检)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝32，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过点P(1,0)的直
6、APykx1k1：直线BQx24＋＋－＝0，93kykìïy42＝＋－，11kxk联立í24可知，＋＋－＝0，ïîxky93k42Qx3－4k－k2点的横坐标为＝，Q2k2＋2
7、PQ
8、＝1＋k2(x－x)QP＝1＋k2çèæ3－4k－k21ö＋k－÷2k2＋22ø＝1＋k2，(k－1)2(1＋k)æ1ö
9、PA
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11、PA
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14、＝(1－k)3(1＋k)，令f(x)＝(1－x)3(1＋x)，－115、，x1fx当－1<<－时，′(2)>0，1xfx当－<2<1时，′()<0，fxæç1ö÷çæ1ö÷故()在è－1，－ø上单调递增，在è－，1ø上单调递减．故f(x)＝fæç22－＝1ö÷27，maxPAè2ø16PQ27即16、17、·18、19、的最大值为.16x2y212．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，离心率为，圆O：x2＋a2b22y2＝c2，A，A是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，△AAB面积的最大值为2.121(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)若l为圆O的任意一20、条切线，l与椭圆C交于两点P，Q，求21、PQ22、的取值范围．解(1)设B点到x轴距离为h，则S＝2S1AO23、·h＝a·h，AAB1＝2··24、A1OB21易知当线段AB在y轴时，h＝25、BO26、＝c，∴S＝a·c＝2，maxc1eAAB1a∵＝＝，2∴a＝2c，∴a＝2，c＝1，b＝3，x2y2∴椭圆C的方程为4＋3＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，求得27、PQ28、＝3；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，∵直线为圆的切线，∴d＝29、m30、＝1，1＋k2∴m2＝k2＋1，ìïy＝kx＋m31、，联立íx2y2ïî4＋3＝1，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，判别式Δ＝48(3k2＋2)>0，íìïx＋x＝－8km，124k2＋3由根与系数的关系得，ïîx·x＝4m2－12124k2＋3∴弦长32、PQ33、＝1＋k234、x－x35、1243·1＋k2·3k2＋2k＝，42＋3令t＝4k2＋3≥3，æ1ö2æ46ù则36、PQ37、＝3·－çèt÷ø2＋t＋3∈çè3，3úû.PQéê46ùú.综上，38、39、∈ë3，3û3．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆：＋＝1(>>0)的离心率为x2y2Cab3，短40、轴，点为MNP→PM→PN＝15.a2b22(4,0)满足·(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线l与椭圆交于点A，B，是否存在常数λO→AO→BλP→AP→Bλ的值；若不存在，请说明理由．，使得·＋·为定值？若存在，求出→→解(1)PM·PN＝(－4，b)·(－4，－b)＝16－b2＝15，所以b＝1，ca2－b23又＝＝，所以a2＝4，aa22x2从而椭圆C的方程为4＋y2＝1.(2)当l不为x轴时，设l：x＝my＋4，A(x，y)，B(x，y)．1122联立l与C的方程可得(m2＋4)y2＋41、8my＋12＝0，所以y＋y＝－8m，yy＝12，12m2＋412m2＋4→OA→OBλP→AP→Bxx＋yy＋λ[(x－4)(x－4)＋yy]·＋·＝12121212＝(1＋λ)(1＋m2)yy＋4m(y＋y)＋161212(12λ－20)m2＋12(λ＋1)m＝＋16.＋·为定值，2＋4因为·→OA→OBλP→AP→B12λ－2012(1＋λ)所以1＝4，2380解得λ＝9，此时定值为3.当l为x轴时，A(－2,0)，B(2,0)．→OA→OBλP→AP→B2380·＋·＝－4＋9·12＝3.23综上，存在λ→OA42、→OBλP→AP→B80＝9，使得·＋·为定值3.4．(2018·宿州质检)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝32，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过点P(1,0)的直
15、，x1fx当－1<<－时，′(2)>0，1xfx当－<2<1时，′()<0，fxæç1ö÷çæ1ö÷故()在è－1，－ø上单调递增，在è－，1ø上单调递减．故f(x)＝fæç22－＝1ö÷27，maxPAè2ø16PQ27即
16、
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19、的最大值为.16x2y212．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，离心率为，圆O：x2＋a2b22y2＝c2，A，A是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，△AAB面积的最大值为2.121(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)若l为圆O的任意一
20、条切线，l与椭圆C交于两点P，Q，求
21、PQ
22、的取值范围．解(1)设B点到x轴距离为h，则S＝2S1AO
23、·h＝a·h，AAB1＝2··
24、A1OB21易知当线段AB在y轴时，h＝
25、BO
26、＝c，∴S＝a·c＝2，maxc1eAAB1a∵＝＝，2∴a＝2c，∴a＝2，c＝1，b＝3，x2y2∴椭圆C的方程为4＋3＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，求得
27、PQ
28、＝3；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，∵直线为圆的切线，∴d＝
29、m
30、＝1，1＋k2∴m2＝k2＋1，ìïy＝kx＋m
31、，联立íx2y2ïî4＋3＝1，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，判别式Δ＝48(3k2＋2)>0，íìïx＋x＝－8km，124k2＋3由根与系数的关系得，ïîx·x＝4m2－12124k2＋3∴弦长
32、PQ
33、＝1＋k2
34、x－x
35、1243·1＋k2·3k2＋2k＝，42＋3令t＝4k2＋3≥3，æ1ö2æ46ù则
36、PQ
37、＝3·－çèt÷ø2＋t＋3∈çè3，3úû.PQéê46ùú.综上，
38、
39、∈ë3，3û3．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆：＋＝1(>>0)的离心率为x2y2Cab3，短
40、轴，点为MNP→PM→PN＝15.a2b22(4,0)满足·(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线l与椭圆交于点A，B，是否存在常数λO→AO→BλP→AP→Bλ的值；若不存在，请说明理由．，使得·＋·为定值？若存在，求出→→解(1)PM·PN＝(－4，b)·(－4，－b)＝16－b2＝15，所以b＝1，ca2－b23又＝＝，所以a2＝4，aa22x2从而椭圆C的方程为4＋y2＝1.(2)当l不为x轴时，设l：x＝my＋4，A(x，y)，B(x，y)．1122联立l与C的方程可得(m2＋4)y2＋
41、8my＋12＝0，所以y＋y＝－8m，yy＝12，12m2＋412m2＋4→OA→OBλP→AP→Bxx＋yy＋λ[(x－4)(x－4)＋yy]·＋·＝12121212＝(1＋λ)(1＋m2)yy＋4m(y＋y)＋161212(12λ－20)m2＋12(λ＋1)m＝＋16.＋·为定值，2＋4因为·→OA→OBλP→AP→B12λ－2012(1＋λ)所以1＝4，2380解得λ＝9，此时定值为3.当l为x轴时，A(－2,0)，B(2,0)．→OA→OBλP→AP→B2380·＋·＝－4＋9·12＝3.23综上，存在λ→OA
42、→OBλP→AP→B80＝9，使得·＋·为定值3.4．(2018·宿州质检)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝32，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过点P(1,0)的直
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