高一下册数学《向量与实数相乘》练习题及答案.docx

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1、精心整理高一下册数学《向量与实数相乘》练习题及答案一、向量的数乘运算 计算下列各式： (1)4(a+b)-3(a-b); (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c); (3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b). 思路分析：利用向量的线性运算律计算. 解：(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b. (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c) =3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c. (3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b) =a-b-a-b+

2、a+b =a+b =0·a+0·b=0+0=0. 计算：(1)3(6a+b)-9; (2)-2; (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 解：(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. (2)原式=-a-b =a+b-a-b=0. (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. 精心整理向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并. 二、向量共线条件的应用 已知向量e1和e2不共线. (1)如果=e1+e2，=2e

3、1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线. (2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值. 思路分析：(1)要证A，B，D三点共线，可证，共线(或与共线等);(2)当ke1+e2与e1+ke2共线时，由向量共线的条件知必有ke1+e2=λ(e1+ke2)，从而求得k的值. (1)证明：∵=e1+e2， =+=2e1+8e2+3e1-3e2 =5(e1+e2)=5， ∴∥.又∵AB∩BD=B， ∴A，B，D三点共线. (2)解：∵ke1+e2与e1+ke2共线， ∴存在λ使

4、ke1+e2=λ(e1+ke2)， 则(k-λ)e1=(λk-1)e2. 由于e1与e2不共线， 只能有 则k=±1. 精心整理已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使d=λa+μb与c共线? 解：∵d=λa+μb =λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2) =(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2， 要使d与c共线，则应存在实数k，使d=kc， 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2， ∴

5、∴λ=-2μ. 故存在这样的实数λ，μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共线. 1.若b=λa(λ∈R)，则b与a共线.由此可以判断向量共线问题.若b与a(a≠0)共线，则必存在实数λ，使b=λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题. 2.用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得a=λb(a，b为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线. 三、向量线性运算的应用 =a，=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示，，

6、. 思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a，b表示.===(-)=(a-b)， ∴=+=b+a-b=a+b， ==. 精心整理∴=+=+= =(+)=(a+b)=a+b. =-=(a+b)-a-b=a-b.1.已知在△ABC中，D是BC边的中点，用向量，表示向量为________. 答案：+ 解析：∵=， ∴-=-，2=+. ∴=+. 2.如图所示，点E在△ABC的边BC上，且CE=3EB，设=a，=b，用a，b表示.

7、 解：∵CE=3EB， ∴=. 又∵=-， ∴=+=+ =a+(b-a)=a+b. 在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一些定理的应用. 1.下列计算正确的数目是(　　) ①(-3)·2a=-6a　②2(a+b)-(2b-a)=3a　③(a+2b)-(2b+a)=0 A.0B.1C.2D.3 精心整理答案：C 解析：①②正确，③错误，应有(a+2b)-(2b+a)=0. 2.化简为(　

8、　) A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b 答案：C 解析：原式=a+b+a-a+b=a+b. 3.下面向量a，b共线的有(　　) ①a=2e1，b=-2e2; ②a=e1-e2，b=-2e1+2e2; ③a=4e1-e2，b=e1-e2; ④a=e1+e2，b=2e1-2e2.(e1，e2不共线) A.②③B.②③④C.①③④D.①②③④ 答案：A 解析：①中a与e1共线，b与e2共线，而e1，e2不共线，所以a与b不共线; ②中b=-2a，故a与