最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案.pdf

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1、2-5求通过x(0)1，x(1)2，使下列性能泛函为极值的极值曲线x*(t)：tJf(1x&2)dtt0解：由题可知，始端和终端均固定，LLdL被积函数L1x&2，0，2x&，2&x&xx&dtx&LdL代入欧拉方程0，可得2&x&0，即&x&0xdtx&故x&c其通解为：xctc112代入边界条件x(0)1，x(1)2，求出c1，c112极值曲线为x*(t)t12-6已知状态的初值和终值为x(1)4，x(t)4f式中t自由且t>1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线ffx*(t)：1tfJ[2x(

2、t)x&2(t)]dt12解：由题可知，L2x1x&2，t4，x14，xt42ff欧拉方程：LdL0xdtx&横截条件：xtx，xtt，&x&TL0L00ffx&tf易得到dx&2故x&2tcdt1其通解为：xtt2ctc12x11cc412根据横截条件可得：tt2ctc4xff1f2x&t2tc4ff1t5t1ff解以上方程组得：c6还有一组解c2(舍去，11c9c122不符合题意t>1)f.1•1

3、40将，，代入可得J525.tccJ*(2xx)dt4(t3)2f120203极值轨线为x*tt26t92-7设性能泛函为1J(1x&2)dt0求在边界条件x(0)0，x(1)自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线x*(t)。解：由题可知，L1x&2，x00，x1自由欧拉方程：LdL0xdtx&横截条件：xtx，L0，Lx&TL000x&tfx&tf易得到x&ta其通解为：xtatb代入边界条件x&ta，x00，t1，求出a0，b0ff将t，a，b代入J可得J

4、*11x&2dt1f0极值轨线为x*t02－8设泛函tf..JL(x,x,x,x,t)dt1212t0端点A(x,x,t)固定，端点B(x(t),x(t),t)可沿空间曲线102001f2fc(t)(t),c(t)(t)1ff2ff移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为[L(.x.L..L)(x)01.2.tfxx2证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由P25..LL(cx)T0可得，x.tf（1）由T,x.(x.,x.),T12..T(.x...,L

5、(L,L)(cx),x)T12...xxx12(c.x.)TT(.x.)L(.x.)L12...xxx12（2）将（2）代入（1）式，得：..LL.L(x)(x)0,得证。1.2.tfxx122-13设系统状态方程x&(t)x(t)，x(0)2121x&(t)u(t)，x(0)122性能指标如下：1tfJu2(t)dt20要求达到x(t)0，试求f（1）t5时的最优控制u*(t)。f（2）t自由时的最优控制u*(t)。f解：由题可知构造H：HL1Tfu2xu212

6、2&H(t)01x正则方程：1&H(t)2x12可求得(t)c11(t)ctc212控制方程：Hu0u2由上式可得u(t)ctc21211x(t)ct3ct2ctc，可得1612234由状态方程x&(t)x(t)x&(t)u(t)1221x(t)ct2ctc22123（1）t5时f由边界条件x(0)2，x(0)1，x(t)0，x(t)0可得121f2fc1543cc21125411得32cc53c52c5c0225

7、6122341c13c52c5c02123c24916x(t)t3t2t25432112525故有x&(t)tx(t)27t322125252t1212525有最优控制u*(t)54t3212525（2）若t自由f由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件1得H(t)u2(t)(t)x(t)(t)u(t)0u(t)0f2f1f2f2fftff11ct3ct2t20即，代入61f22f