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1、变量间的相关关系、回归分析导学案学习目标：1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系；了解最小二乘法的思想，能根据给出的系数公式建立线性回归方程；2.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.学习重点：了解回归模型与函数模型的区别；了解任何模型只能近似描述实际问题；模型拟合效果的分析工具：残差分析和指标R2.学习难点：残差变量的解释与分析；指标R2的理解.知识梳理1.变量间的相关关系（1）两个变量之间的关系包括和，相关关系是指（2）散点图是指，观察散点图可知，相关关系又包括和。（3）线性
2、相关关系及回归直线：2.回归分析的基本思想及其初步应用（1）对具有的两个变量进行统计分析的方法叫。回归分析的一般步骤为：nybxa，其中b(xix)(yiy)（2）回归直线方程：设所求的直线方程为i1,aybx，n(xix)2i11nxi,y1nxyi,称为样本点的中心，回归直线过，回归方程的截距ni1ni1a和斜率b是用计算出来的，最小二乘法是指（3）回归分析：如何检查所建立的回归模型拟合效果的好坏？n(xix)(yiy)ri1;nn(xix)2(yiy)2(4)相关系数①i1i1②当r0时,表明两个变量正相
3、关；当r0时,表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常
4、r
5、大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.3.残差分析ny)2(1)总偏差平方和：把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方加起来即:(yii1(2)残差：数据点和它回归直线上相应位置的差异（yi?是随机误差的效应称?yi?为残差.yi),eiyin2n(yi?2yi)(3)残差平方和?.(4)相关指数R2i1(yiyi)ni1y)2(yii1R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果
6、越好.在线性回归模型中,R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率,R2越接近于1,表示回归的效果越好.4.建立回归模型的步骤(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).$$$(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程ybxa).应用：1.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据x3456y2.5344
7、.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)2.测得某国10对父子身高(单位:英寸)如下:(1)对变量y与x进行相关性检验;(2)如果y与x之间具有线性相关关系,求回归方程.(3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子的身高.(二)非线性
8、回归分析1.非线性回归模型:当回归方程不是形如ybxa时称之为非线性回归模型.2.非线性回归模型的拟合效果:对于给定的样本点(x1,y1),(x2,y2),L,(xn,yn),两个含有未知数的模(1)(2)%%g(x,b),其中a和b都是未知参数.型yf(x,a)和y可按如下的步骤比较它们的拟合效果:(1)(2)?????(1)分别建立对应于两个模型的回归方程yf(x,a)和yg(x,b)?,其中a和b分别是参数a和b的估计值;?(1)nn?(1)2和?(2)?(2)2Q)Q)(yiyi(yiyi(2)分别计
9、算两个回归方程的残差平方和i1i1;?(1)?(2)(1)?(2)?(3)若Q＜Q??g(x,b);,则yf(x,a)的效果比y(1)(2)?反之,y?f(x,a?)的效果不如y?g(x,b)的好.例：为了研究某种细菌随时间x变化时,繁殖个数y的变化,收集数据如下:天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190(1)用天数x作解释变量,繁殖个数y作预报变量,作出这些数据的散点图;(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系;(3)计算残差平方和、相关指数.
