全国高中数学联赛试题分类汇编： 5数列 Word版含答案.pdf

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1、1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编数列部分2019B8.设等差数列a的各项均为整数，首项a2019，且对任意正整数n，总存在正n1整数m，使得aaaa．这样的数列a的个数为．12nmn◆答案：5★解析：设a的公差为d．由条件知aaa（k是某个正整数），n12ka则2adak1d，即k2da，因此必有k2，且d1．111k2n1这样就有aan1daa，而此时对任意正整数n，n11k21nn1nn1aaanadan1k2d，确

2、实为a中的12n1212n一项．因此，仅需考虑使k2

3、a成立的正整数k的个数．注意到20193673，易知1k2可取1,1,3,673,2019这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．2019B二、（本题满分40分）求满足以下条件的所有正整数n：(1)n至少有4个正约数；(2)若ddd是n的所有正约数，则dd,dd,,dd构成等比数列。12k2132kk1dddd★证明：由条件可知k4，且32kk1……………10分dddd21k1k2nnnnddd易得d1,dn，d，d，代入上式得322，

4、1kk1dk2dddnn2321dd23即dd2d12d，由此可知d是完全平方数．由于dp是n的最小素因322332子，d是平方数，故只能dp2．………………30分33从而序列dd,dd,,dd为p1,p2p,p3p2,,pk1pk2，即2132kk1d,d,,d12k为1,p,p2,,pk1，而此时相应的n为pk1.综上可知，满足条件的n为所有形如pa的数，其中p是素数，整数a3．………40分。2018A8、设整数数列a,a,,a满足a3a，aa2a，且a1a,2a，121010128

5、5i1iii1,2,,9，则这样的数列的个数为◆答案：80★解析：记baa1,2（i1,2,,9），则有2aaabbb①ii1i1101129bbbaaaabbb②2345285567下面用t表示b,b,b中2的项数。由②知，t也是b,b,b中2的项数，其中t0,1,2,3，2345672因此b,b,b，b,b,b的取法数为C0C12C22C3220；接下来，确定b,b，234567333389有224种方式，最后由①知，应取b1,2使得bbb为偶数，这样的

6、b的取法11291是唯一的，并且确定了整数a的值，进而数列b,b,,b唯一对应一个满足条件的数列1129a,a,,a。1210综上可知，满足条件的数列的个数为20480。2018A一、（本题满分40分）设n是正整数，a,a,,a，b,b,,b，A,B均为正实数，12n12n满足：bbbBab，aA，i1,2,,n，且12n。iiiaaaA12n(b1)(b1)(b1)B1证明：12n。(a1)(a1)(a1)A112nbBbbbB★证明：记ki，则k1，（i1,2,,n），记k，则不等式12n即

7、iaiAaaaAi12n(b1)(b1)(b1)B1kkkk，要证12n成立，12n(a1)(a1)(a1)A112n(ka1)(ka1)(ka1)kA1也就转化为证：1122nn。(a1)(a1)(a1)A112nka1k1k1kA1对于i1,2,,n，k1及0aA知，iikikii.iia1ia1iA1A1ii(kA1)(kA1)(kA1)kkkA1由kkkk，则只需证12n12n12n(A1)(A1)(A1)A1下面用数学归纳法证明之：①

8、当n1时，不等式显然成立；(kA1)(kA1)kkA1k1k1A②当n2时，1212120,所以n2时也成立；(A1)(A1)A1A12(kA1)(kA1)(kA1)kkkA1③设nm时结论成立，即12m12m，(A1)(A1)(A1)A1(kA1)(kA1)(kA1)(kA1)kkkA1kA1则当nm1时，12mm112mm1(A1)(A1)(A1)(A1)A1A1kkkkA112mm1（将kkk看成一个整体，与k一起替换n2时的做

9、法一样可得）A112mm1所以nm1结论也成立。由数学归纳