全国高中数学联赛试题分类汇编： 10逻辑 Word版含答案.pdf

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1、1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编逻辑部分1,xU2014B3、对于实数R的任意子集U，我们在R上定义函数f(x)，如果A,B是U0,xU实数R的两个子集，则f(x)f(x)1，的充分必要条件是AB◆答案：A,B互为补集★解析：对于任意的xR，f(x)f(x)1，这说明f(x),f(x)中至少有一个是1，即ABABxAB，所以ABR，另一方面，f(x),f(x)中仅有一个是1，即AB，从AB而A,B互为补集。2001*15、（本题满分20分）用电阻值分别为a,a,a,a,a,a123456(aaaaaa)

2、的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才123456能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．★解析：首先，对电路图进行截取分段考虑，如下三个图设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为R．当Ra，i3,4,5,6，R，R是a，aFGii1212的任意排列时，R最小．FG证明如下：1111°设当两个电阻R，R并联时，所得组件阻值为R：则．故交换二电阻的位12RRR12置，不改变R值，且当R或R变小时，R也减小，因此不妨取RR．12122°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R：ABRRRRRRRRR12R121323．ABRR3RR121

3、2显然RR越大，R越小，所以为使R最小必须取R为所取三个电阻中阻值最小的一12ABAB3个．3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R：CD111RRRRRRRRRR1213142324．RRRRRRRRRRRRCDAB4124134234SRRR若记SRR，SRRR．则S、S为定值．于是R2123．1ij2ijk12CDSRR1ij41ijk4134只有当RR最小，RRR最大时，R最小，故应取RR，RR，RR，即得34123CD433231总电阻的阻值最小．4°对于图3，把由R,R,R组成的组件用等效电阻R代替

4、．要使R最小，由3°必需使123ABFGRR；且由1°，应使R最小．由2°知要使R最小，必需使RR，且应使R最65CECE54CD小．而由3°，要使R最小，应使RRR且RRR．CD432431这就说明，要证结论成立1998*4、设命题P:关于x的不等式ax2bxc0与ax2bxc0的解集相同；命111222abc题Q:111。则命题Q（）abc222A.是命题P的充分必要条件B.是命题P的充分条件但不是必要条件C.是命题P的必要条件但不是充分条件D.既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件◆答案：D★解析：若两个不等式的解集都是R，否

5、定A、C，若比值为1，否定A、B，选D1995*3、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()A.1个B.2个C.50个D.100个◆答案：D★解析：把身高按从高到矮排为1~100号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D．1994*2、给出下列两个命题：(1)设a,b,c都是复数，如果a2b2c2，则a2b2c20；(2)设a,b,c都是复数，如果a2b2c20，则a2b2c2．那么下述说法正确

6、的是（）A.命题(1)正确，命题(2)也正确B.命题(1)正确，命题(2)错误C.命题(1)错误，命题(2)也错误D.命题(1)错误，命题(2)正确◆答案：B★解析：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a2b2c2，成立时，a2b2与c2都是实数，故此时a2b2c20成立；⑵当a2b2c20成立时，a2b2c2是实数，但不能保证a2b2与c2都是实数，故a2b2c2不一定成立．故选B．1988*4．已知三个平面、、，每两个之间的夹角都是，且a，b，c，．若有命题甲：；命题乙：a、b、c相交于一点．则3A．甲是乙的

7、充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对◆答案：C★解析：a、b、c平行或交于一点．当a//b//c时，．当它们交于一点时，,33选C．1985*1、假定有两个命题：甲：a是大于0的实数；乙：ab且a1b1．那么()A．甲是乙的充分而不必要条件B．甲是乙的必要而不充分条件C．甲是乙的充分必要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件◆答案：B★解析：由于ab且a1b1成立时，必有a0,b0．故由乙可得甲，故选B1985*10、对任意实数x,y，定义运算xy为xyaxb