专题20 应用导数研究函数的性质-2020年高考数学(文)母题题源系列(天津专版) Word版含解析.pdf

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1、母题二十应用导数研究函数的性质【母题原题1】【2018天津，文20】设函数fx=(xt)xtxt，其中t,t,tR，且t,t,t是公差为d的等差数列．123123123（I）若t0,d1,求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；2（II）若d3，求fx的极值；（III）若曲线yfx与直线yxt63有三个互异的公共点，求d的取值范围．2【考点分析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，

2、满分14分．【答案】(Ⅰ)xy0；(Ⅱ)极大值为63；极小值为63；(Ⅲ),1010,【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得fxx3x,fx3x21，结合f00,f01，究gx的性质可得d的取值范围是,1010,．试题解析：（Ⅰ）由已知，可得fxxx1x1x3x，故fx3x21，因此f00,f01，又因为曲线yfx在点0,f0处的切线方程为yf0f0?x0，故所求切线方程为xy0．（Ⅱ）

3、由已知可得fxxt3xtxt3xt39xtx33tx23t29xt39t．222222222故fx3x26tx3t29．令fx0，解得xt3，或xt3．2222当x变化时，fx，fx的变化如下表：x,t3t3t3,t3t3t3,222222fx+00+fx↗极大值↘极小值↗函数fx的极大值为ft3339363；函数fx的极小值为23ft339363．2（

4、Ⅲ）曲线yfx与直线yxt63有三个互异的公共点等价于关于x的方程2xtdxtxtdxt630有三个互异的实数解，令uxt，可得22222u31d2u630．设函数gxx31d2x63，则曲线yfx与直线yxt63有三个互异的公共点等2价于函数yfx有三个零点．gx3x31d2．3d2123d212gx的极小值gxg63．239若gx0，由gx的单调性可知函数ygx至多

5、有两个零点，不合题意．23若gx0,即d21227，也就是d10，此时dx，gdd630,且222

6、d

7、x,g2d6d

8、32d636210630，从而由gx的单调性，可知函数ygx在1区间2d,x,x,x,x,d内各有一个零点，符合题意．1122d的取值范围是,1010,．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考

9、来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．【母题原题2】【2017天津，文19】设a,bR，

10、a

11、1．已知函数f(x)x36x23a(a4)xb，g(x)exf(x)．（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）已知函数yg(x)和yex的图象在公共点（x，y）处有相同的切线，00（i）求证：f(x)在xx处的导数等于0；0

12、（ii）若关于x的不等式g(x)ex在区间[x1,x1]上恒成立，求b的取值范围．00【答案】（Ⅰ）递增区间为(,a)，(4a,)，递减区间为(a,4a)．（2）（ⅰ）f(x)在xx处的导0数等于0．（ⅱ）b的取值范围是[7,1]．试题解析：（I）由f(x)x36x23a(a4)xb，可得f'(x)3x212x3a(a4)3(xa)(x(4a))，令f'(x)0，解得xa，或x4a．由

13、a

14、1，得a4a．当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：x(,a)(a,4a)(4

15、a,)f'(x)f(x)所以，f(x)的单调递增区间为(,a)，(4a,)，单调递减区间为(a,4a)．g(