2020数学(理)二轮教师用书：第2部分 专题4 第2讲 空间向量与立体几何 Word版含解析.pdf

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1、第2讲空间向量与立体几何[做小题——激活思维]1．在正方体ABCD-ABCD中，AC与BD所成角的大小为()11111ππA.B.64ππC.D.32D[如图，连接BD，易证AC⊥平面BBD，1∴AC⊥BD，1π∴AC与BD所成角的大小为.]122．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°C[∵m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，∴

2、m

3、＝1，

4、n

5、＝2，m·n＝1，m·n12∴cos〈m，n〉＝＝＝，

6、m

7、

8、n

9、22设两平面所成的二面角为α，则2

10、cosα

11、

12、＝，∴α＝45°或135°，故选C.]23．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．②④D[对于①，正方体从同一顶点引出的三条直线a，b，c，满足a⊥b，b⊥c，但是a⊥c，所以①错误；对于②，若a∥b，a∥c，则b∥c，满足平行线公理，所以②正确；对于③，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；对于④，由垂直于同一平面的两条直线平行，知

13、④正确．故选D.]4．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，1n〉＝－，则l与α所成的角为________．2π[设l与α所成的角为θ，则61ππsinθ＝

14、cos〈m，n〉

15、＝，又θ∈0，，∴θ＝.]226[扣要点——查缺补漏]1．证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行：①利用平行公理；②利用平行四边形进行平行转换；③利用三角形的中位线定理；④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．如T.3(2)证明线线垂直：①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质．2．证明线面平行和线

16、面垂直的常用方法(1)证明线面平行：①利用线面平行的判定定理；②利用面面平行的性质定理．(2)证明线面垂直：①利用线面垂直的判定定理；②利用面面垂直的性质定理．3．异面直线所成的角求法(1)平移法：解三角形．(2)向量法：注意角的范围．如T.14．二面角的求法m·ncosθ＝cos〈m，n〉＝，如T.

17、m

18、

19、n

20、25．线面角的求法sinθ＝

21、cos〈m，n〉

22、，如T.4利用空间向量求空间角(5年15考)[高考解读]主要考查通过建立空间直角坐标系，解决空间图形中的线线角、线面角和面面角的求解，考查学生的空间想象能力、运算能力、三种角的定义及求法等.(2018·全国

23、卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．切入点：(1)借助勾股定理，证明PO⊥OB；(2)建立空间直角坐标系，利用二面角M-PA-C为30°求出点M的坐标，进而求出PC与平面PAM所成角的正弦值．[解](1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.2连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，21且OB⊥AC，OB＝AC＝2.2由OP2

24、＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.→(2)如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，→C(0,2,0)，P(0,0,23)，AP＝(0,2,23)．取平面PAC→的一个法向量OB＝(2,0,0)．→设M(a,2－a,0)(0≤a≤2)，则AM＝(a,4－a,0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．→→由AP·n＝0，AM·n＝0得2y＋23z＝0，可取n＝(3(a－4)，3a，－a)，ax＋4

25、－ay＝0，→23a－4所以cos〈OB，n〉＝.23a－42＋3a2＋a2→3由已知可得

26、cos〈OB，n〉

27、＝，223

28、a－4

29、3所以＝，23a－42＋3a2＋a224解得a＝－4(舍去)，a＝，383434所以n＝－，，－.333→→3又PC＝(0,2，－23)，所以cos〈PC，n〉＝.43所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.4[教师备选题]1.(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平

30、面AEC⊥平面AFC；(