高中数学第一章导数及其应用1.2.3简单复合函数的导数学案苏教版选修2.pdf

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1、1.2.3简单复合函数的导数学习目标重点难点1．结合实例，理解复合函数的求导重点：复合函数的求导法则．法则．难点：复合函数的求导.2．会求简单复合函数的导数.1．复合函数由基本初等函数复合而成的函数，称为__________．2．复合函数的导数一般地，我们有：若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′＝________，即y′＝________.xxy′，y′分别表示y关于____的导数及y关于____的导数．xu预习交流1做一做：函数y＝(3x－4)2的导数是______．预习交流2做一做：函数y＝cos

2、2x的导数为______．预习交流3如何求复合函数的导数？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引1．复合函数2．y′·u′y′·axuuxu预习交流1：提示：令y＝t2，t＝3x－4，则y′＝(t2)′·t′＝2t×3＝6t＝18x－24.x预习交流2：提示：∵y＝cost，t＝2x，∴y′＝y′·t′＝－sint×2＝－2sin2x.tx预习交流3：提示：复合函数求导的主要步骤是：(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；(

3、2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．一、复合函数的导数求下列函数的导数：(1)f(x)＝(－2x＋1)2；(2)f(x)＝ln(4x－1)；(3)f(x)＝23x＋2；(4)f(x)＝5x＋4；π(5)f(x)＝sin3x＋；6(6)f(x)＝cos2x.思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．1．若f(x)＝e－2x，则f′(0)的值等于_______

4、___．2．函数f(x)＝x1＋x的导数为f′(x)＝________.求复合函数的导数时要注意以下四点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变ππ量转换成自变量的函数，如求y＝sin2x＋的导数，设y＝sinu，u＝2x＋，则y′33xπ

5、＝y′·u′＝2cosu＝2cos2x＋.ux3(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可省略，不写在试卷上，但应该在草纸上拆开求导，不可图省事导致错误．二、复合函数的应用已知f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________________________________________________________________________．思路分析：先由导数的几何意义，求出切线的斜率，再求切线方程．已

6、知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为__________．对抽象函数f(2－x)求导应为f′(2－x)·(2－x)′＝－f′(2－x)，这是解决此类题目的关键．11．函数y＝(ex＋e－x)的导数是____________．212．函数y＝的导数为______．(1－2x)53．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝______.4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为__________．5．求下列函数的导数：(1)y

7、＝5log(2x＋1)；25π(2)y＝cos－7x；3(3)y＝(2x－1)5.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：(1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则y′＝y′·u′＝2u·(－2)＝－4(－ux2x＋1)＝8x－4.14(2)设y＝lnu，u＝4x－1，则y′＝y′·u′＝·4＝.uxu4x－1(3)设y＝2u，u＝3x＋2，则y′＝y′·u′＝2uln2·3＝3ln2·23x＋2.ux(4

8、)设y＝u，u＝5x＋4，15则y′＝y′·u′＝·5＝.ux2u25x＋4π(5)设y＝sinu，u＝3x＋，6π则y′＝y′·u′＝cosu·3＝3cos3x＋.ux6(6)方法1：设y＝u2，u＝cosx，则y′＝y′·u′＝2u·(－sinx)＝－2cosx·sinx＝－sin2x；ux1＋cos2x11方法2：∵f(x)＝cos2x＝＝＋cos2x，222111所以f′(x)＝＋cos2x′＝0＋·(－sin2x)·2＝－s