高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2.pdf

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1、1.4导数在实际生活中的应用学习目标重点难点1．学会解决利润最大，用料最省，效率最高等优化问题．2．学会利用导数解决生活中简单实重点：用导数解决实际生活中的最优际问题，并体会导数在解决实际问题化问题．中的作用．难点：将实际问题转化为数学问题.3．提高将实际问题转化为数学问题的能力.导数在实际生活中的应用导数在实际生活中有着广泛的应用．例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的______问题，从而可用________来解决．预习交流1做一做：有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为______m2.预习交流2做一做：做一个无盖的圆柱形水桶，若需使

2、其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为______．预习交流3用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引最值导数预习交流1：提示：设矩形长为xm，则宽为(8－x)m，矩形面积S＝x(8－x)(8＞x＞0)，令S′＝8－2x＝0，得x＝4.此时S＝42＝16(m2)．最大27预习交流2：提示：设半径为r，则高h＝，r22754π∴S＝2πr·h＋πr2＝2πr·＋πr2＝＋πr2，rr254π令S′＝2πr－＝0，得r＝3，r2∴当r＝3时，用料最省．预习交流3：提示：(1)在求实

3、际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．一、面积、体积最大问题如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2

4、)求面积S的最大值．思路分析：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解．2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，有利于解决问题．二、费用最省问题如图所示，设铁路AB=50，B，C之间距离为10，现将货物从

5、A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？思路分析：可从AB上任取一点M，设MB=x，将总费用表示为变量x的函数，转化为函数的最值求解．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平购地总费用均购地费用＝建筑总面积1．求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合

6、实际意义的理论值应舍去；2．在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；3．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域．三、利润最大问题某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利

7、润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？5(2)若年销售量关于x的函数为y＝3240－x2＋2x＋，则当x为何值时，本年度的年3利润最大？最大利润是多少？思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/