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1、三维热传导问题温度场的分布的数值分析目录contents01热传导及导热的基本定律02导热微分方程及定解条件03导热问题的数值求解基础04各种数值解法的介绍01热传导及导热的基本定律热传导及导热的基本定律一热传导当物体内有温差或两个不同温度的物体直接接触时,在物体各部分之间不发生相对位移的情况下,依靠物质微粒的热运动而产生的热量传递现象称为热传导,简称导热01热传导及导热的基本定律二、热流量及热流密度1.热流量单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量,记为,单位为W2.热流密度单位时间通过单位面积的热量称为热流密度(或称
2、面积热流量),记为q,单位为W/㎡,于是有01热传导及导热的基本定律三、温度场和温度梯度1.温度场物体内部产生导热的起因在于物体各部分之间具有温度差,所以研究导热必然涉及物体的温度分布.在某一瞬时,物体内各点的温度分布称为温度场.在一般情况下,温度是空间坐标(x,y,z)和时间()的函数,即随时间而变动的温度场称为非稳态温度场,在非稳态温度场中发生的导热称为非稳态导热.各店温度不随时间变动的温度场称为稳态温度场,在稳态温度场中发生的导热称为稳态导热.一维温度场具有最简单的数学形式01热传导及导热的基本定律2.温度梯度在同一
3、瞬时,物体内温度相同的各点所连成的面或线称为等温面或等温线.由于物体内同一点上不可能同时具有两个不同的温度,所以温度不同的等温面或线不会相交.观察一物体内温度为t及t+Δt的两个不同温度的等温面,沿等温面法线方向上的温度增量Δt与法向距离Δn比值的极限称为温度梯度,用符号gradt表示01热传导及导热的基本定律四、热导率及傅里叶定律1.热导率设有大平壁,厚度为δ，两侧的表面积均为A,两侧表面分别维持均匀的温度且。实践表明,单位时间内从表面1传导到表面2的热流量与两侧温差，及垂直于热流方向的面积A成正比,与平壁的厚度δ成反比
4、,即式中,比例系数λ称为热导率或导热系数,单位为W/(m·K),是表征材料导热能力的物理量.它与物质的种类,温度,密度和湿度等因素有关,可由实验测定,一般金属的热导率最大,非金属和液体次之,气体最小01热传导及导热的基本定律2.傅里叶定律傅里叶归纳了无数实验研究结果,提出了导热的基本定律:单位时间内通过单位面积的热量(即热流密度q)正比于该处的温度梯度,写成矢量形式,即该式为傅里叶定律的数学表达式,式中负号表示热流密度的方向永远指向温度降低的方向.写成标量形式为热导率的定义式可由傅里叶定律表达式得到λ表征物质导热能力大小0
5、1热传导及导热的基本定律02导热微分方程及定解条件02导热微分方程及定解条件导热微分方程傅里叶定律揭示了导热量与温度梯度的关系，要想确定温度梯度，必须首先求解导热体内的温度分——温度场。因此必须建立一个能全面描述导热问题温度场的数学表达式，即导热微分方程然后结合具体的单值性条件求解方程便可得出特定条件下的温度分布t=f(x,y,z,,τ)02导热微分方程及定解条件对于非稳态，有内热源的问题，由能量守恒定律，热平衡方程式应该是导入微元体的总热流量微元体内热源的生成热导出微元体的总热流量微元体热力学能的增量任意方向的总热流量可
6、以分解为x、y、z三个坐标轴方向的分热流量。02导热微分方程及定解条件导入微元体的热流量由傅里叶定律得出，即02导热微分方程及定解条件导出微元体的热流量按傅里叶定律写出，即02导热微分方程及定解条件单位时间内微元体热力学能的增量其中，ρ为密度；c为比热；τ为时间。单位时间内微元体内热源的生成热设单位时间内单位体积中热源的生成热为，称之为内热源强度，单位为W/,则有单位时间内微元体内热源的生成热=dxdydz02导热微分方程及定解条件带入总的热平衡方程式并化简可得：对常物性导热问题可简化为：式中λ/（ρc）=a为热扩散率，单
7、位为/s，是一个物性参数。当既无内热源，又为稳态导热时，可简化为02导热微分方程及定解条件定解条件初始条件：给定初始时刻的温度分布边界条件：给出物体边界上的温度或换热情况（1）、第一类边界条件给定边界上的温度值。τ>0时，如，=常数（2）、第二类边界条件给定边界上的热流密度值。τ>0时，如，边界上的热流密度保持定值，=常数。（3）、第三类边界条件给定边界上物体与周围流体间的对流热表面传热系数h及周围的流体温度02导热微分方程及定解条件通过无限大平壁的导热设有一厚度为δ的平壁，材料的导热率为常数，如图所示，平壁两侧分别维持均
8、匀而恒定的温度和则壁内温度只延壁厚x方向变化，是一维稳态导热。壁内的等温面是平行于两侧面的平面，画如图所示坐标图。02（一）以导热微分方程式为出发点求解由一维稳态导热微分方程（内无热源、常物性）积分两次得边界条件带入边界条件得到温度表达式02（二）用傅里叶定律求解从壁左侧处取微元平壁d，由傅里叶定律表达
