排列组合基础知识.pdf

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1、精品文档排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中有n中不同的方法，1第二类方法中有n种不同的方法......第n类方法中n种不同的方法，那么完成2n这件事共有Nnn...n种不同的方法。12n（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。（3）特点：分成几类，就有几项相加。例1.从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？如上图，从甲地到乙地共有3+2种方法。2.乘法原理（1）定义做一件事，完成

2、它需要n个步骤，做第一个步骤有m中不同的方法，做1第二个步骤有m种不同的方法......做第n个步骤有m种不同的方法，那么完成2n这件事共有Nmm...m种不同的方法。12n（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。（3）特点：分成几步，就有几项相乘。例2.从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车2班，汽车3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？1欢迎下载。精品文档解：由上图可知共有的可能路线为：火车1—汽车1，火车2—汽车1火车1—汽车2，火车2—汽车2火车

3、1—汽车3，火车2—汽车3所以共有248种方式。二、排列组合1.排列（1）排列的定义：从n个不同的元素中，任取m个（mn）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。（2）使用排列的三条件①n个不同元素；②任取m个；③讲究顺序。2.组合（1）组合的定义：从n个不同的元素中，任取m个（mn）元素并为一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。（2）使用三条件①n个不同元素；②任取m个；③并为一组，不讲顺序。排列与组合的共同点：都是“从n个不同元素中任取m个元素”；排列与组合的不同点：排列

4、与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。3排列数的定义：从n个不同的元素中，任取m个（mn）元素所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，记为Am。n2欢迎下载。精品文档例1.从甲、乙、丙三个中任取2个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式？解：由上图可知，共有6种方式。需要注意：此题相当于从3个不同的元素中任取2个元素，并按一定的顺序排列，所有共有的排列数为A2，即A2632，其中上标2是相乘的项数，下标是相33乘中的最大那一项3，而且

5、之后的每项总是比前一项少1。例2.从a,b,c,d四个元素中任取2个排成一列共有多少种可能？解所以的可能排列为：ab,ba,ac,ca,ad,da,bc,cb,bd,db,cd,dc.共有12种，即A21243，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项44，而且之后的每项总是比前一项少1。例3.从a,b,c,d四个元素中任取3个排成一列共有多少种可能？解所以的可能排列为：abc,acb,bac,bca,cab,cba,abd,adb,bad,bda,dab,dba,acd,adc,cad,cda,dac,dca.bcd

6、,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24种，即A324432，其中上标3是相乘的项数，下标是相乘中的最4大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式n!Amn(n1)(n2)....(nm1)，其中上标m表示相乘的项数，n(nm)!其中n!n(n1)21。尤其：A01,A1n,Ann!。nnn5组合数的定义：从n个不同的元素中，任取m个（mn）元素所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，记为Cm。n3欢迎下载。精品文档例4.从

7、甲、乙、丙三个中任取2个人参加某项比赛。问共有多少种方式？解：可能的组合为：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有3种需要注意：此题相当于从3个不同的元素中任取2个元素并成一组，所有共有的组合数为C2，即C23。这个结果与例1比较发现3332A2C233。321A22例2.从a,b,c,d四个元素中任取2个并成一组，共有多少种可能？解所以的可能排列为：ab,ac,ad,bc,bd,cd.共有6种，即C26。这个结4果与例2比较发现43A2C264。421A22例6.从a,b,c,d四个元素中任取3个并成一组，共有多少种可

8、能？解所以的可能排列为：abc,abd,acd,bcd。共有4种，即C34。这个结4果与例3比较发现432A3C344。4321A33由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式Amn(n1)...(nm1)Cmn