幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量.pdf

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1、精品文档数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1.幂法简介：当矩阵A满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵A需要满足的条件为：

2、

3、

4、

5、...

6、

7、0,为A的特征值(1)12nix,x,...,x(2)存在n个线性无关的特征向量，设为12n1.1计算过程：n对任意向量x(0)，有x(0)u,不全为0，则有iiii1x(k1)Ax(k)...Ak1x(0)nnAk1αuαλk1uiiiiii1i1λk1u

8、(2)k1au(n)k1au11122nn11k1u111

9、2

10、可见，当越小时，收敛越快；且当k充分大时，有1x(k1)k1ux(k1)111x(k1)x(k)kux(k)1，对应的特征向量即是。1112算法实现(1).输入矩阵A，初始向量x，误差限,最大迭代次数Nx(k)(2).k1,0;y(k)max(abs(x(k))(3).计算xAy,max(x);(4).若

11、

12、,输出,y,否则,转(5)(5).若kN,置kk1

13、,,转3,否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码1欢迎下载。精品文档function[t,y]=lpowerA,x0,eps,N)%t为所求特征值，y是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=A*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b)eps&&k

14、(x);end[m,index]=max(abs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。end4举例验证选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。结果如下：2欢迎下载。精品文档结果正确，表明算法和代码正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，与eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。设置初始向量为x0=ones(15,1)，结果显示如下3欢迎下载。精品文档4欢

15、迎下载。精品文档5欢迎下载。精品文档可见，结果正确。得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。二.反幂法1.反幂法简介及其理论在工程计算中，可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。其基本理论如下，与幂法基本相同：1由AxxxA1(x)，则A1xx，可知，A和A-1的特征值互为倒数，求A按模最小特征值即求A-1的按模最大特征值,取倒数即为A的按模最小特征值所以算法基本相同，区别就是在计算x(k1)时，不是令x(k1)Ay(k),而是x(k1)A-1y(k)具体计算时，

16、变换为Ax(k1)y(k);对A做LU分解，来计算x(k1)2.算法实现(1).输入矩阵A,初始向量x,误差限,最大迭代次数N,x(2).置k1,0,y,0max(abs(x))(3).作三角分解ALU(4).解方程组LUxy(Lzy,Uxz),(5).max(x),1(6).若

17、

18、,输出,y,停机,否则转(7),0x(7).若kN,置kk1,,y,转(4);0max(abs(x))否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码function[s,y]=invp

19、ower(A,x0,eps,n)%s为按模最小特征值，y是对应特征向量k=1;r=0;%r相当于0y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量6欢迎下载。精品文档[L,U]=lu(A);z=Ly;x=Uz;u=max(x);s=1/u;%按模最小为A-1按模最大的倒数.ifabs(u-r)eps&&k

20、,index]=max(abs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值s=1/x(index);%是原值，而非其绝对值。end4举例验证同幂法一样，选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。7欢迎下载。精品文档可见结果正确，