备战新课标高考理科数学2020：“3+1”保分大题强化练(四) Word版含解析.pdf

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1、保住基本分·才能得高分“3＋1”保分大题强化练四前3个大题和1个选考题不容有失1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2(acosBcosC＋ccosBcosA)．(1)求B的大小；(2)若a＋c＝5，且S＝3，求边长b的值．△ABC解：(1)由已知条件及正弦定理得sinB＝2(sinAcosB·cosC＋sinCcosBcosA)＝2cosB(sinAcosC＋sinCcosA)＝2cosBsin(A＋C)，1π可得cosB＝.又0

2、余弦定理得，b2＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.1∵a＋c＝5，∴b2＝25－3ac，∵S＝3，∴acsinB＝3，即ac＝4，∴△ABC2b2＝13，∴b＝13.2．某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人．甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,9

3、5]进行分组，得到下列统计图．(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数．(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间少于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解：(1)由题意得，第一组工人20人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有6人，∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为6×10＝60.第二组工人4

4、0人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为30×10＝300.(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为x＝甲60×2＋70×4＋80×10＋90×4＝78(min)，20第二组工人生产一件产品的平均时间为x＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2乙＋90×0.05＝70.5(min)，∴x＞x，∴乙车间工人的生产效率更高．甲乙(3)由题意得，第一组生产时间少于75min的

5、工人有6人，其中生产时间少于65min的有2人，从中抽取3人，则X的可能取值为0,1,2，C0C31P(X＝0)＝24＝，C356C1C23P(X＝1)＝24＝，C356C2C11P(X＝2)＝24＝.C356所以X的分布列为X012131P555131数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.5553．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)证明：AE⊥PB；(2)当四棱锥P-ABCE的体积最大时，求二面角A-

6、PE-C的余弦值．解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝60°，BD⊥BC，∴BD⊥AE.如图，翻折后可得OP⊥AE，OB⊥AE，又OP∩OB＝O，OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB.(2)当四棱锥P-ABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE＝

7、AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.以O为坐标原点，OE所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在3的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，P0，0，，213→13→13E，0，0，C1，，0，∴PE＝，0，－，EC＝，，0，222222设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，113→x－z＝0，PE·n＝0，22则1即设x＝3，则y＝－1，z＝1，∴n→1EC·n＝0，1x

8、＋3y＝0，122＝(3，－1,1)为平面PCE的一个法向量，易知平面PAE的一个法向量为n＝(0,1,0)，2n·n－15∴cos〈n，n〉＝12＝＝－.12

9、n

10、

11、n

12、1×5512由图知所求二面角A-PE-C为钝角，5∴二面角A-PE-C的余弦值为－.54．选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ＝2cosθ，若极坐标系内异于O的三点A(ρ，1π