圆锥曲线典型例题整理.pdf

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1、精品文档椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F(0，－1)、F(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF＋PF＝2FF，求椭圆的标准方程。121212解：由PF＋PF＝2FF＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.1212y2x2所以椭圆的标准方程是＋＝1.432．已知椭圆的两个焦点为F(－1,0)，F(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．12x2y2解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为＋＝1.2524二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：2.椭圆的一个顶点为A2，0，其长轴长是短

2、轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．x2y21解：（1）当A2，0为长轴端点时，a2，b1，椭圆的标准方程为：；41x2y21（2）当A2，0为短轴端点时，b2，a4，椭圆的标准方程为：；416三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。x2y2例3．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．94x2y294解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋＝1，所以a2a2－5a2a2－5x2y2a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1

3、.1510四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例4：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．x2解：由题意，设椭圆方程为y21，a2xy10xx1a21由x2，得1a2x22a2x0，∴x12，y1x，y21M2a2MM1a2a2y11x2kM，∴a24，∴y21为所求．OMxa244M五、求椭圆的离心率问题。例5一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．a2113解：2c2∴3c2

4、a2，∴e．c333x2y21例6已知椭圆1的离心率e，求k的值．k8921解：当椭圆的焦点在x轴上时，a2k8，b29，得c2k1．由e，得k4．2当椭圆的焦点在y轴上时，a29，b2k8，得c21k．11k155由e，得，即k．∴满足条件的k4或k．29444六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：7.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹1。欢迎下载精品文档x2为椭圆

5、，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为＋25y2x2y2x2y2＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)答案：＋9259259＝1(y≠0)x2y22．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F，F，且FF＝8，弦AB过点F，求△ABF的周长．a225121212因为FF＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF的周长为1224a＝441.x2y23．设F、F是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF∶PF

6、＝2∶1，求△PFF的面积．12941212解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF＋PF＝2a＝6.又PF∶PF＝2∶1，∴PF＝4，1212111PF＝2，由22＋42＝(25)2可知△PFF是直角三角形，故△PFF的面积为PF·PF＝×2×4＝4212122122七、直线与椭圆的位置问题x211例8已知椭圆y21，求过点P，且被P平分的弦所在的直线方程．222分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k．11解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为ykx．代入椭圆方程，并整理得22132k2

7、2k12k2x22k22kxk2k0．由韦达定理得xx．221212k21∵P是弦中点，∴xx1．故得k．所以所求直线方程为2x4y30．12211x，yx，y解法二：设过P，的直线与椭圆交于A、B，则由题意得221122x21y21，①21x22y21，②22xx1，③12yy1.④12x2x2①－②得12y2y20．⑤212yy11将③、④代入⑤得12，即直线的斜率为所求直线方程为2x4y30．xx2212八、椭圆中的最值