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1、圆锥曲线典型例题1．已知线段AB=6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程【解析】：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立如图坐标系则A（-3，0），B（3，0），设点M的坐标为，则直线AM的斜率直线BM的斜率由已知有化简，整理得点M的轨迹方程为2．求到两个定点的距离之比等于2的点的轨迹方程【解析】：设为所求轨迹上任一点，则有3．设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点｡(1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;(2)设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A．B,且∠AOB为锐角(其中
2、O为坐标原点),求直线的斜率的取值范围｡【解析】解法一:(1)易知,,所以,,设P,则因为,故当,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值-2;当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1｡解法二:(1)易知,,,所以,,设P,则第16页共16页(以下同解法一)｡(2)显然直线不满足题设条件｡可设直线:,A(),B()联立,消去,整理得:∴,由得:或①又∴又∵,即,∴②故由①②得或｡4．一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点.(1)求以、为焦点且过点的椭圆的方程;(2)从椭圆上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线,切点分别为A．B,直
3、线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q.求的最小值【解析】：设点关于直线的对称点,则,解得,∴∵,根据椭圆的定义,得===,第16页共16页∴,,.∴椭圆的方程为.(2)设,,,则,切线AM、BM方程分别为,,∵切线AM、BM都经过点,∴,.∴直线AB方程为,∴、,,当且仅当时,上式等号成立.∴的最小值为.5．已知椭圆:的离心率,且经过点.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆的左焦点,判断以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解析】(1)∵椭圆的离心率为,且经过点,∴即解得∴椭圆的方程为.(2)∵,,∴.∴椭圆的
4、左焦点坐标为.以椭圆的长轴为直径的圆的方程为,圆心坐标是,半径为2.以为直径的圆的方程为,圆心坐标是,半径为.第16页共16页OxyF2F1M∵两圆心之间的距离为,故以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.6．已知圆，定点.动圆M过点F2，且与圆F1相内切.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A,B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程.【解析】：（1）设圆M的半径为r．OxyF2F1M因为圆M与圆F1相内切，所以MF1＝4－r．因为圆M过点F2，所以MF2＝r．所以MF1＝4－MF2，即
5、MF1＋MF2＝4．所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆．且此椭圆的方程形式为＋＝1(a＞b＞0)．其中2a＝4，c＝1，所以a＝2，b＝．所以曲线C的方程＋＝1．（2）（方法一）当直线l的斜率不存在时，A，B两点的坐标分别是(0，)，(0，－)，此时S△ABF＝≠，不合题意．设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，代入椭圆方程＋＝1，得y1＝，y2＝－．所以S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝OF1×∣y1∣＋OF1×∣y2∣＝OF1×(y1－y2)＝．因为S△ABF＝，所以＝．解得k＝±．故所求直线l的方程为x±2y＝0．
6、（方法二）因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S△ABF＝2SAOF．因为S△ABF＝，所以SAOF＝．不妨设点A(x1，y1)在x轴上方，则SAOF＝×OF1×y1＝．所以y1＝，x1＝±，即点A的坐标为(，)或(－，)．所以直线l的斜率为±．故所求的直线l的方程为x±2y＝0．（方法三）当直线l的斜率不存在时，A，B两点的坐标分别是(0，)，(0，－)，此时S△ABF＝≠，不合题意．第16页共16页设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，代入椭圆方程＋＝1，得，所以，到直线AB的距离d=,所以S△ABF＝=2所以＝．解得
7、k＝±．故所求直线l的方程为x±2y＝0．7．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，椭圆的两个焦点与短轴的两个端点组成一个边长为的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)直线过点且与椭圆相交于A．B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线的方程．【解析】：（Ⅰ），所求椭圆方程为.（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由，消去y得关于x的方程：解得原点到直线的距离解法1：对两边平方整理得（*）第16页共16页∵，得又，，从而的最大值为，此时代入方程（*）得所以，所求直线方程为：解法2：令，则当且仅当即时，此时.所求直线方
8、程为解法二：设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，由解法一知解法1：=.下同解法一.解法2：=下同解法一.8．椭圆的中心原点，焦点在轴上，离心率，过的直线与椭圆交于、两点，且，求面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．【解析】：设椭圆的方程为第16页共16页直线
