专题13 应用均值不等式求最值-2020年高考数学(理)母题题源系列(天津专版) Word版含解析.pdf

《专题13 应用均值不等式求最值-2020年高考数学(理)母题题源系列(天津专版) Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、母题十三应用均值不等式求最值【母题原题1】【2018天津，理13】1已知a,bR，且a3b60，则2a的最小值为．8b1【答案】411综上可得2a的最小值为．8b4【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．【母题原题2】【2017天津，理12】a44b41若a,bR，ab0，则的最小值为___________．ab【答案】41【解析】442222a4b14ab14ab124ab14，当

2、且仅当a22b2且ab，即a2,b2时取等abababab224号．【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）a,bR,a2b22ab，当且仅当ab时取等号；（2）a,bR，ab2ab，当且仅当ab时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值．若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立．【命题意图】高考对本部分内容重点用基本不等式求最值．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种正用；一种

3、是逆用．【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下三步：ab第一步：选基本不等式的形式a0,b0,ab,a2＋b22aba,bR．2第二步：选相当于公式中字母a,b的代数式第三步：下结论．【方法总结】ab1．基本不等式：ab2（1）基本不等式成立的条件：a0,b0.（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba（2）＋≥2(a，b同号)；aba＋b（3）ab≤22(a，b∈R)；a2＋b2a＋b（4）≥2(a，b∈R)．3．算术平均数

4、与几何平均数22a＋b设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术2平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)s2（2）如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)41．【2018天津河西区三模】已知正数，满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【名师点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，属于中档题．解决问题的关键是利用柯西不等式

5、求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件，配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答．2．【2018天津河东区二模】已知正实数满足，当取最小值时，的最大值为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】分析：首先根据题中的条件可以得到，之后将式子中的c用来代换，接着化简为，能够发现当前的式子满足积为定值，从而得到和取最小值时，是当相等的时候，从而得到，接着将化为关于的式子，配方即可得结果．详解：根据题意，，所以，当且仅当，即时取等号，所以有，所以可以发现，当时取得最大值，

6、故选C．【名师点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，在求解的过程中，可以发现式子中有三个未知数，利用题的条件，逐步转化，首先将c代换，求得当取得最小值时的关系，之后将化成关于的二次式，配方求得结果．3．【2018天津河北区二模】若正数a，b满足，则的最小值为（）A．1B．6C．9D．16【答案】B【名师点睛】利用基本不等式求最值的类型及方法（1）若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、

7、添加系数等．4．【2018江西莲塘一中、临川二中联考】已知，，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：，据此结合均值不等式有：当且仅当时等号成立．综上可得：的最小值是．故选C．【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2018天津七校联考】已知点4a,2b(a0,b0)在圆C:x2y24和圆M:x22y224的公12共弦上，则的最小值为（）abA．1B．2C．4D．

8、8【答案】D【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”