量子统计力学经典习题(大题)

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1、量子统计力学一.简述理想波色气体波色—爱因斯坦凝聚产生的原因及其特征。解：产生的原因：理想玻色系统最突出的特征是粒子间存在统计吸引，因此玻色粒子倾向于具有相同的量子数。对一个粒子数守恒的系统，这一性质导致出现玻色—爱因斯坦凝聚。玻色子具有整体特性，在低温时集聚到能量最低的同一量子态(基态)；而费米子具有互相排斥的特性，它们不能占据同一量子态，因此其它的费米子就得占据能量较高的量子态，原子中的电子就是典型的费米子。在1924年玻色和爱因斯坦就从理论上预言存在另外的一种物质状态—玻色爱因斯坦冷凝态，即当温度足够低、原子的运动速度足够慢时，它们

2、将集聚到能量最低的同一量子态。此时，所有的原子就象一个原子一样，具有完全相同的物理性质。根据量子力学中的德布洛意关系，λdb=h/p。粒子的运动速度越慢（温度越低），其物质波的波长就越长。当温度足够低时，原子的德布洛意波长与原子之间的距离在同一量级上，此时，物质波之间通过相互作用而达到完全相同的状态，其性质由一个原子的波函数即可描述；当温度为绝对零度时，热运动现象就消失了，原子处于理想的玻色爱因斯坦凝聚态特征：玻色—爱因斯坦凝聚是粒子凝聚到k=0的状态，本质上是粒子在动量空间的凝聚，而不是坐标空间的凝聚，实质上是一级相变，具有一级相变的特

3、征。这种凝聚来源于体系的量子力学效应，即波函数的对称性，它与粒子间是否存在相互作用无关。但是，玻色—爱因斯坦凝聚只能出现在粒子数固定的系统中，对于总粒子数N不等于常数的系统，不可能出现这样的凝聚。例如，光子声子便是这样的系统。二.（7.1）通过研究占有数的数量级，试证明：我们把级数（7.1.2）式中的有限的项数与的部分合并，或者把它们包括在对的积分之内，这对（7.1.6）式右边的各个部分都是无差别的。解:考察其中任一项7量子统计力学(和归一化的分立谱)为三项不同时为零的整数的平方和又当时,即:(从数量级来看加上后无影响又考虑的积分形式,从

4、数量级看:加上后无影响.三、（8.1）设用虚线表示在低温下的费米分布，如图8.11所示，该虚线在处与实际曲线相切。试证明：除了有关的数值因子变成4/3而不是之外，这个近似表示会给出费米气体低温比热的“正确”结果。解:设状态密度为常数,则,7量子统计力学分析低温下,用斜线代曲线所得的与下的的差别,可图解性的得出与前面结果有因子,的差别四.写出经典集团展开法中下图5-集团基本单元的相应的表达式。13245解：132457量子统计力学五．量子集团展开法与经典集团展开法所得的配分函数实质上有何异同？解：要具体了解两种展开的最后所的配分函数，我首先

5、需要分别来推导两种展开法：从书本我们可以知道经典集团展开法的系统配分函数可以写为（中间进行了一些近似）：（1）对于粒子的动量部分的积分与经典理想气体的情况相同，积分后可以写为：（2）其中是分子的平均热波长，而且：（3）而（3）式子代表位形配分函数。而（4）从经典的集团展开法中得到：（5）将（5）代入（4）式得：（6）最后得出系统的配分函数为：（7）上面讲述的是经典集团展开法所得到的配分函数，接下来从量子力学的角度来讨论：量子力学的系统的哈密顿量为：7量子统计力学（8）系统的配分函数为；（9）其中各是系统的正交完备函数组，而则表示位置坐标.

6、引入概率密度算符,他的矩阵元写为：（10）这样（9）式可以写成：(11)而是量子集团展开法的位形配分函数，通过量子的集团展开法，我们可以得到(12)而集团积分的表达式为：（13）有（12）和（13）式可以得出配分函数：（14）7量子统计力学六．求伊辛模型中用长程序参量及短程序参量表示的哈密顿量H解：A.首先我们写出伊辛模型的哈密顿量：设有N个自旋，处于金格点位置上，每个自旋只能取向上或者向下两个态，并且我们只考虑近邻自旋之间的相互作用，这样的自旋系统称为伊辛模型，系统的哈密顿量为：（1）其中代表第i个格点位置的自旋,取值为+1或者-1,分

7、别对应于自旋向上或者向下。表示对一切可能的求和，J为与交换积分成正比的耦合常数。为了研究上述的模型，我们引入下列变量：：向上的自旋数：向下的自旋数：向上的自旋的近邻对数（2）：向下的自旋近邻对数：向上的自旋与向下自旋的近邻对数这五个变量满足下面的关系式：,,(3),由此可见，，，，，这五个变量中只有两个是独立的。我们选和为独立变量，则有下面的三个表达式：，，（4）。于是可以得出：7量子统计力学(5)(6)将（5）和（6）带入（1）中，可以得出：(7)为了进一步研究（7）式，我们来定义长程序参量(8)如果,则；如果，则。这两种情形都具有完全

8、的长程序。从（8）可以得到下面的式子：。（9）于是(10)这样（7）可以写成(11)接下来，我们定义一个短程序参量(12)将（12）带入（11）可以得出：(13)这样（13）式就是用长程序参量