《量子力学与统计力学》各章习题

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1、《量子力学与统计力学》各章习题习题一1.1、一颗质量为20克的子弹以仰角30º初速率500米/秒从60米的高度处射出。求在重力作用下该子弹着地前的轨道以及射出50秒后对射出点的位矢、速度、动量、角动量、动能和机械能。（不考虑空气阻力，重力加速度取10米/秒2，地面为零重力势能面）。1.2、在极坐标平面中任取两点P1和P2，但它们和极点三者不共线。试分别画出在P1和P2处的极坐标单位矢。1.3、在球坐标系中任取一点P，试画出P点的球坐标单位矢。1.4、对于做斜上抛运动的子弹，以抛出点为坐标系原点建立直角坐标系。试分别选取两组不同的广义坐标，并用之表示子弹在任一时刻的直角坐标。1.5、氢原子由

2、一个质子和一个电子组成。试说明一个孤立氢原子体系是基本形式的Lagrange方程适用的体系。1.6、证明:Lagrange方程的基本形式（1.59）式可写为如下的Nielsen形式：,1.7、设一个s自由度的体系的广义坐标为。试证明存在一个任意可微函数，由它与该体系的Lagrange函数构成的如下函数满足Langrange方程（1.67）式。1.8、设一个s自由度的体系的广义坐标为，满足Langrange方程（1.67）式的Lagrange函数为。设存在另一组广义坐标，，且有变换方程，此变换叫做点变换。证明：若通过上述点变换将变换为，则有这就是说，Lagrange方程的形式与所选用的广义坐

3、标无关。1.9、一个质量为m的物体在地球(质量为M)引力场中做周期运动。以地心为极点在轨道平面上建立极坐标系，并选极坐标为广义坐标。1）、写出该物体的Lagrange函数，广义动量，所受的广义力，并由Lagrange方程导出该物体的径向和横向运动方程；2）、写出该物体的Hamilton函数，并由Hamilton正则方程导出该物体的径向和横向运动方程。1.10、一个体系由n个粒子组成，粒子质量分别为4。此体系在外势场中运动，第i个粒子在此外势场中的势能为，第i个粒子的动量为,这n个粒子间的相互作用能为。1）、写出该体系的Lagrange函数和Hamilton函数;2）、写出原子序数为Z的原子

4、中的电子体系的Lagrange函数和Hamilton函数。1.11、写出一个自由粒子在球坐标系中的广义动量及Hamilton函数。1.12、若函数及均为正则变量、及时间t的函数，即它们的泊松括号定义为证明：1）、；2）、Hamilton正则方程可有如下形式其中，H是体系的Hamilton量。3）、。1.13、试写出一个单原子分子的能量曲面方程，并计算能量曲面所包围的相体积。1.14、一个双原子分子的运动通常包括分子质心的平动、两个原子绕质心的转动和原子间的相对振动。试写出一个刚性双原子分子(即不考虑原子间的相对振动)的能量曲面方程，并计算能量曲面所包围的相体积。1.15、一容器内装有一种单

5、原子分子组成的理想气体，设容器体积为V，分子总数为N，分子质量为m。1)、写出此单原子分子气体的哈密顿量H。2)、计算此系统能量的曲面所包围的相体积的大小。1.16、已知一个质量为m的质点在力的作用下在一个固定的光滑水平面上运动。若在此水平面上建立直角坐标系，则，其中，和均为常量。试计算该粒子能量为时能量曲面所包围的相体积。1.17、试利用Kronecker符号、Levi-Civita符号的定义、行列式运算规则和Einstein求和约定验证或证明：1)、；2)、；3)、；4)、；5)、41.18、试利用Einstein求和约定证明:1)、2)、。1.19、一个质量为m荷电q的粒子在相互垂直

6、的匀强电场和匀强磁场中运动。试选直角坐标为广义坐标,坐标原点为电势零点,分别写出在对称规范和Landau规范下该粒子的Lagrange函数和Hamilton函数，并分析Hamilton函数表达式的能量组成形式。1.20、试由Maxwell方程组（1.159），并利用式（1.150）推导式（1.179）。复习总结要求一1a、用一句话概述本章内容。1b、用一段话扼要叙述本章内容。1c、以两粒子体系为例，推导基本形式的Lagrange方程、保守系的Lagrange方程和Hamilton正则方程。1d、以习题1.19中的体系为例，仿照§1.7，从基本形式的Lagrange方程出发推导Lagrang

7、e方程。1e、系统地总结本章的基本概念、基本公式、重要结论和结果以及基本技能。4