2、=±2x.3.(2018湖南湘潭模拟)若双曲线=1(a>0)的一条渐近线与直线y=x垂直,则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.36答案C解析双曲线的一条渐近线的方程为y=-x,所以-=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18.故选C.4.设椭圆C的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C上的点到椭圆C的两个焦点的距121离的差的绝对值等于8,则曲线C的标准方程为()2A.=1B.=1C.=1D.=1答案A解析由题意知椭圆C的焦点坐标为F(-5,0),F(5,0),设曲线C上的一点P,则
3、
4、
5、PF
6、-
7、PF
8、
9、=8.112212由双曲线的定义知a=4,b=3.故曲线C的标准方程为=1.25.设F,F分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(
10、PF
11、-121
12、PF
13、)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()2A.B.C.4D.答案D解析由双曲线的定义知,(
14、PF
15、-
16、PF
17、)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即-3·=4,解得=4-舍去.12因为双曲线的离心率e=,所以e=.故选D.6.已知双曲线=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相
18、切,则双曲线的离心率为()A.B.2C.3D.4答案B解析因为双曲线=1的一个焦点为F(2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,所以圆心为F(2,0),半径r=1.所以c-a=1,即a=1,所以双曲线的离心率e==2.7.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是.答案2解析双曲线的渐近线为y=±x,即bx±ay=0.所以双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为=b,解得b=c,因此a2=c2-
19、b2=c2-c2=c2,a=c,e=2.8.(2018江西六校联考)双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F,F,过F的直线交双曲线左支于A,B121两点,则
20、AF
21、+
22、BF
23、的最小值为.22答案9解析由双曲线的定义,得
24、AF
25、+
26、BF
27、=
28、AF
29、+2a+
30、BF
31、+2a=
32、AB
33、+4a≥2+4a=2×+8=9.22119.设A,B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上
34、存在点D,使=t,求t的值及点D的坐标.解(1)由题意知a=2,故可得一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,所以.所以b2=3,所以双曲线的方程为=1.(2)设M(x,y),N(x,y),D(x,y),112200则x+x=tx,y+y=ty.120120将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x+x=16,y+y=12.1212故解得-由=t,得(16,12)=(4t,3t),故t=4,点D的坐标为(4,3).10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件
35、PM
36、-
37、PN
38、=2,记动
39、点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.解(1)由
40、PM
41、-
42、PN
43、=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=-.所以W的方程为=1(x≥).(2)设A,B的坐标分别为(x,y),(x,y).1122当AB⊥x轴时,x=x,y=-y,1212从而=xx+yy==2.1212当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,则x
44、+x=,xx=,12-12-所以=xx+yy1212=xx+(kx+m)(kx+m)1212=(1+k2)xx+km(x+x)+m21212=+m2--==2+.--又因为xx>0,所以k2-1>0.所以>2.12综上所述,当AB⊥x轴时,取得最小值2.二、能力提升11.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则
