2、时,焦距2c取得最小值,则双曲线的方程为x2-y24=1,其渐近线方程为y=±2x.3.(2018湖南湘潭模拟)若双曲线y2a2-x29=1(a>0)的一条渐近线与直线y=13x垂直,则此双曲线的实轴长为( )A.2B.4C.18D.36答案C解析双曲线的一条渐近线的方程为y=-a3x,所以-a3×13=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18.故选C.4.设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( )A.x242-y232=1B.x213
3、2-y252=1C.x232-y242=1D.x2132-y2122=1答案A解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则
4、
5、PF1
6、-
7、PF2
8、
9、=8.由双曲线的定义知a=4,b=3.故曲线C2的标准方程为x242-y232=1.5.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(
10、PF1
11、-
12、PF2
13、)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( )A.2B.15C.4D.17答案D解析由双曲线的定义知,(
14、PF1
15、-
16、PF2
17、)2=4a2,所以4a
18、2=b2-3ab,即b2a2-3·ba=4,解得ba=4ba=-1舍去.因为双曲线的离心率e=ca=1+b2a2,所以e=17.故选D.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为( )A.32B.2C.3D.4答案B解析因为双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点为F(2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,所以圆心为F(2,0),半径r=1.所以c-a=1,即a=1,所以双曲线的离心率e=ca=2.7.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,
19、若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值是 . 答案2解析双曲线的渐近线为y=±bax,即bx±ay=0.所以双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为
20、bc±0
21、a2+b2=bcc=b,解得b=32c,因此a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,a=12c,e=2.8.(2018江西六校联考)双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则
22、AF2
23、+
24、BF2
25、的最小值为 . 答案9解析由双曲线的定义,得
26、AF2
27、
28、+
29、BF2
30、=
31、AF1
32、+2a+
33、BF1
34、+2a=
35、AB
36、+4a≥2b2a+4a=2×12+8=9.9.设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.解(1)由题意知a=23,故可得一条渐近线方程为y=b23x,即bx-23y=0,所以
37、bc
38、b2+12=3.所以b2=3,所以双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x1
39、,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=12.故x0y0=433,x0212-y023=1,解得x0=43,y0=3.由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),故t=4,点D的坐标为(43,3).10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件
40、PM
41、-
42、PN
43、=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA·OB的最小值.解(1)由
44、PM
45、-
46、
47、PN
48、=22知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=
