2020年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第5章 数列 第4节 数列求和学案 理 北师大版.pdf

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1、第四节数列求和[考纲传真](教师用书独具)1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．(对应学生用书第87页)[基础知识填充]1．公式法(1)等差数列的前n项和公式：n(a＋a)n(n－1)S＝1n＝na＋d；n212(2)等比数列的前n项和公式：na，q＝1，1S＝a－aqa(1－qn)n1n＝1，q≠1.1－q1－q2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成

2、两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：111①＝－；n(n＋1)nn＋11111②＝－；(2n－1)(2n＋1)22n－12n＋11③＝n＋1－n.n＋n＋1(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同n一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形

3、如a＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．n例如，S＝1002－992＋982－972＋…＋22－12n＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)a－a(1)如果数列{a}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和S＝1n＋1.()nn1－q1111(2)当n≥2时，＝－.()n2－12n－1n＋1(3)求S＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错n位相减法求得．()(4)如果数列{a}是周期为k

4、(k为大于1的正整数)的周期数列，那么S＝mS.()nkmk[答案](1)√(2)√(3)×(4)√12．(教材改编)数列{a}的前n项和为S，若a＝，则S等于()nnnn(n＋1)55A．1B.611C.D．630111B[∵a＝＝－，nn(n＋1)nn＋111115∴S＝a＋a＋…＋a＝1－＋－＋…－＝.]51252236613．数列{a}的通项公式是a＝，前n项和为9，则n等于()nnn＋n＋1A．9B．99C．10D．1001B[∵a＝＝n＋1－n，∴S＝a＋a＋…＋a＝(n＋1－n)＋nn＋n＋1n12n(n－n－1)＋…＋(3－2)＋(2－1

5、)＝n＋1－1，令n＋1－1＝9，得n＝99，故选B.]4．数列{a}的前n项和为S，已知S＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S＝________.nnn179[S＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－617＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]5．若数列{a}的通项公式为a＝2n＋2n－1，则数列{a}的前n项和S＝__________.nnnn2(1－2n)n(1＋2n－1)2n＋1－2＋n2[S＝＋＝2n＋1－2＋n2.]n1－22(对应学生用书第87页)分

6、组转化求和(2016·北京高考)已知{a}是等差数列，{b}是等比数列，且b＝3，b＝9，a＝b，nn2311a＝b.144(1)求{a}的通项公式；n(2)设c＝a＋b，求数列{c}的前n项和．nnnn[解](1)设等比数列{b}的公比为q，nb9则q＝3＝＝3，b32b所以b＝2＝1，b＝bq＝27，所以b＝3n－1(n＝1,2,3，…)．1q43n设等差数列{a}的公差为d.n因为a＝b＝1，a＝b＝27，11144所以1＋13d＝27，即d＝2.所以a＝2n－1(n＝1,2,3，…)．n(2)由(1)知a＝2n－1，b＝3n－1.nn因此c＝a＋

7、b＝2n－1＋3n－1.nnn从而数列{c}的前n项和nS＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1nn(1＋2n－1)1－3n3n－1＝＋＝n2＋.21－32[规律方法]分组转化法求和的常见类型(1)若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{a}的前n项和．nnnnnnb，n为奇数，n(2)通项公式为a＝的数列，其中数列{b}，{c}是等比数列或等差数列，n，n为偶数nncn可采用分组求和法求和．易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．[跟踪训练](2018·南昌一模)已知等差数列{a}的前n项和为

8、S，且a＝1，S＋S＝S.nn1345(1)求数列{a}的通项公式；n(2)令b