2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：第二章 参数方程 章末复习 Word版含解析.pdf

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1、知识系统整合规律方法收藏1．直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x)，其中k＝tanα，α为直线的倾斜角，代入上式得，0sinαπx－xy－yy－y＝(x－x)，α≠，即0＝0．0cosα02cosαsinαx＝x＋tcosα，0记上式的比值为t，整理后得(t为参数)．y＝y＋tsinα02．圆的参数方程x＝x＋rcosθ，0若圆心在点M(x，y)，半径为r，则圆的参数方程为(θ为000y＝y＋rsinθ0参数)．3．椭圆的参数方程x－x2y－y

2、2若椭圆的中心不在原点，而在点M(x，y)，相应的椭圆0＋0＝1000a2b2x＝x＋acost，0的参数方程为y＝y＋bsint0(t为参数)．4．双曲线的参数方程x2y2x＝asecθ，双曲线－＝1的参数方程是(θ为参数)．a2b2y＝btanθ5．抛物线的参数方程x＝2pt2，抛物线y2＝2px的参数方程是(t为参数)．y＝2pt6．渐开线的参数方程x＝rcosφ＋φsinφ，圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．y＝rsinφ－φcosφ7．摆线的参数方程x＝rφ－sinφ，圆的

3、摆线的参数方程为(φ为参数)．y＝r1－cosφ学科思想培优一、参数方程的求法(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．例1过点P(－2，0)作直线l与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，设A，B的中点为M，求M的轨迹的参数方程．解设M(x，y)，A(x，y)，B(x，y)，直线l的方程为x＝ty－2．1122x＝ty－2，由消去x得(1＋t2)y2－4ty＋3

4、＝0．x2＋y2＝14t2t∴y＋y＝，则y＝．121＋t21＋t22t2－2x＝ty－2＝－2＝，1＋t21＋t2由Δ＝(4t)2－12(1＋t2)>0得t2>3．－2x＝，1＋t2∴M的轨迹的参数方程为(t为参数且t2>3)．2ty＝1＋t2【跟踪训练1】已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．点M的直角坐标为(－1，0)，曲线C的8cosθ极坐标方程为ρ＝．1－cos2θ(1)求点M的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)和曲线C的直角坐标方程；→→(2)过点M的

5、直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，若MA＝2MB，求直线l的参数方程．解(1)点M的极坐标为(1，π)．8cosθ由ρ＝，得ρ(1－cos2θ)＝8cosθ，即ρ·2sin2θ＝8cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ，1－cos2θ即y2＝4x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．x＝－1＋tcosα，(2)设直线l的参数方程为(t为参数，α为直线l的倾斜角)．将y＝tsinα其代入曲线C的直角坐标方程得t2·sin2α－4t·cosα＋4＝0，其判别式Δ＝16cos2α－16sin2α．4cosα设点A，B

6、对应的参数分别为t，t，则t＋t＝，①1212sin2α4tt＝．②12sin2α→→又MA＝2MB，则t＝2t．③128317234从①②③中消掉t，t，得sin2α＝cos2α，所以cosα＝±，sinα＝，1291717此时满足Δ＝16(2cos2α－1)>0．317x＝－1±t，17所以直线l的参数方程为(t为参数)．234y＝t17二、参数方程与普通方程的互化参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x，y的另一种曲线方程的形式，它体现了x，y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁—

7、—参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．3x＝t＋1，例2将参数方程5(t为参数)化为普通方程．y＝t2－13525解由x＝t＋1得t＝(x－1)，代入y＝t2－1，得y＝(x－1)2－1，539即为所求普通方程．x＝5cosθ，ππ【跟踪训练2】参数方程－≤θ≤表示的曲线是什么？22y＝5sinθ解化为普通方程是：x2＋y2＝25，ππ∵－≤θ≤，∴0≤x≤5，－5≤

8、y≤5．22∴表示以(0，0)为圆心，5为半径的右半圆．三、直线与圆的参数方程求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．x＝－1＋2t，x＝1＋4cosθ，