2019-2020学年高中数学人教A版必修4同步作业与测评：2.5.1 平面几何中的向量方法 Word版含解析.pdf

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1、2．5平面向量应用举例第26课时平面几何中的向量方法对应学生用书P73知识点一平行、垂直的问题1．已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是()A．A，B，C三点共线→→B．AB⊥BCC．A，B，C是锐角三角形的顶点D．A，B，C是钝角三角形的顶点答案D→→→→解析∵BC＝(－2，0)，AC＝(2，4)，∴BC·AC＝－4<0，∴∠C是钝角．故选D．→→→→→2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足

2、OB－OC

3、＝

4、OB＋OC－2OA

5、，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形

6、C．钝角三角形D．等边三角形答案B→→→→→→→→→→→解析因为

7、OB－OC

8、＝

9、CB

10、＝

11、AB－AC

12、，

13、OB＋OC－2OA

14、＝

15、AB＋AC

16、，所以

17、AB→→→→→－AC

18、＝

19、AB＋AC

20、，则AB·AC＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形，故选B．3．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式不成立的是()→→→A．

21、AC

22、2＝AC·AB→→→B．

23、BC

24、2＝BA·BC→→→C．

25、AB

26、2＝AC·CD→→→→→AC·AB×BA·BCD．

27、CD

28、2＝→

29、AB

30、2答案C→→→→→→

31、→→→→解析AC·AB＝AC·(AC＋CB)＝AC2＋AC·CB＝AC2＝

32、AC

33、2，A正确；→→→同理

34、BC

35、2＝BA·BC成立，B正确；→→→→→→AC·AB×BA·BC

36、AC

37、2×

38、BC

39、2又＝→→

40、AB

41、2

42、AB

43、2→→

44、AC

45、×

46、BC

47、→＝2＝

48、CD

49、2，D正确．→

50、AB

51、4．过点A(2，3)，且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0答案A解析设P(x，y)为直线上一点，→则AP＝(x－2，y－3)．

52、→依题意有AP⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0．故选A．5．如图，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PFCE是矩形．试用向量法证明：PA⊥EF．证明以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，P(m，m)，依题意，得E(1，m)，F(m，0)，A(0，1)，→→于是AP＝(m，m－1)，EF＝(m－1，－m)，→→则AP·EF＝m(m－1)－(m－1)m＝0，→→所以AP⊥EF，即AP⊥EF．知识点二长度和夹

53、角的问题6．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是()5575A．25B．C．35D．22答案B3→5解析BC的中点为D，6，AD＝－，5，22→55∴

54、AD

55、＝．27．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°(用向量法证明)．→→证明连接OP，设向量OA＝a，OP＝b，→→→→→→→则OB＝－a，且PA＝OA－OP＝a－b，PB＝OB－OP＝－a－b．→→∴PA·PB＝b2－a2＝

56、b

57、2－

58、a

59、2＝0，→→∴PA⊥PB，

60、即∠APB＝90°．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且1BD＝DC．2求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．→→解(1)设AB＝a，AC＝b，→→→→1→→1→→则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)332→1→21＝AB＋AC＝a＋b．3333→→21∴

61、AD

62、2＝AD2＝3a＋3b2421＝a2＋2×a·b＋b2999421＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3．999∴AD＝3．→→(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量AD与AC的

63、夹角．21→→a＋b·bAD·AC33∴cosθ＝＝→→3×3

64、AD

65、

66、AC

67、12121b2＋a·b×9＋×3×3×－33332＝＝＝0．3333∴θ＝90°．即∠DAC＝90°．9．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF．求证：∠ADB＝∠FDC．证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2，0)，C(0，2)，则点D(0，1)．→于是AD＝(－2，1)，→AC＝(－2，2)．设F(x，y)．→→→→由BF⊥AD，得BF·AD＝0，即(

68、x，y)·(－2，1)＝0，∴－2x＋y＝0．①→→又F点在AC上，则FC∥AC．→而FC＝(－x，2－y)，因此，2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2．②24由①②式解得x＝，y＝，3324→21→∴F，，DF＝，，DC＝(0，1)，3333→→1故DF·DC＝．3→→→→5又DF·DC＝

69、DF

70、

71、DC

72、cosθ＝cosθ，355∴cosθ