(江苏专版)2020版高考数学一轮复习讲义： 第二章 函数 2.6 函数模型及函数的综合应用讲义.pdf

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1、§2.6函数模型及函数的综合应用考纲解读五年高考统计考点内容解读要求常考题型预测热度20132014201520162017函数模型及函数函数模型建模求解以17题B解答题★★★的综合应用及函数的综合应用14分分析解读应用题是江苏高考的必考内容,试题主要考查实际问题建模求解.五年高考考点函数模型及函数的综合应用1.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的

2、保鲜时间是小时.答案242.(2014辽宁改编,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有

3、f(x)-f(y)

4、<

5、x-y

6、.若对所有x,y∈[0,1],

7、f(x)-f(y)

8、

9、f(x)

10、≥ax,则a的取值范围是.答案[-2,0]4.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互

11、垂直的公路为l,l,山区边界曲线为C,计划修建的公路12为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l,l的距离分别为5千米和40千米,点N到l,l的距离分别1212为20千米和2.5千米,以l,l所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数21y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代

12、入y=,得解得(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y'=-,则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)==,t∈[5,20].②设g(t)=t2+,则g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10.当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)=300,此时f(t)=15.minmin答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.5

13、.(2013课标全国Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.解析(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x)=2x+a,g'(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).设函

14、数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F'(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F'(x)=0,得x=-lnk,x=-2.12(i)若1≤k0.即F(x)在(-2,x)上单调1111递减,在(x,+∞)上单调递增.故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x).而F(x)=2x+2--4x-2=-x(x+2)≥0.1111111故当x≥-2时,F(x)≥0,即f

15、(x)≤kg(x)恒成立.(ii)若k=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当x>-2时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.(iii)若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].教师用书专用(6—7)6.(2017浙江,17,5分)已知a∈R,函数f(x)=+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.答案7.(201

16、3天津理改编,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a

17、x

18、).设关