二项式定理通项公式的应用教案.doc

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1、二项式定理通项公式的应用教案教学目标1.加深对二项式定理通项公式的认识，熟练地运用通项公式求指定项或有关系数．2.通过对例题的分析、讨论，解答，进一步培养学生抽象思维和分析问题的能力，以及运算能力．3.进一步渗透转化及方程（组）的数学思想方法．教学重点与难点认识通项公式中字母的含义，熟练地运用通项公式．教学过程设计（一）引入新课师：请同学们回忆表示二项式定理的公式：（板书）n师：其中n是任意自然数，右边的多项式称为（a+b）的二项展开r+1项，即（板书）展开式任意项的代表，所以我们可以利用它研究项数与项的有关问题．（板书二项式定理

2、通项公式的应用）数．如何解决？师：我们有了两个不同的答案，哪个对呢？我们来看通项公式Tr+1项与a，b，n，r相关，其中a，b是二项式的两项，n是指数，r是项数减一，这是十分重要的．当项数是4时，r+1=4，此时r=3，所以生：不是，因为a，b所含字母系数不是1，二项式系数一般不是这一项的系数．师：那么如何求项的系数呢？生：利用通项公式，求出T4就能看出系数了．师：我们有了方法，还要注意规范表述．（板书）解：展开式的第4项师：二项展开式项的系数与二项式系数是两个不同的概念，这两个系数的数值一般情况下是不相等的，一定要区分所求是哪一

3、种系数．另由于二项式中的两项可以交换位置，但（b+a）与（a+b）的对应项一般是不相同的，所以更多的题型是求一些指定的、具有某些性质的项．nn即这一项具有什么性质？生：不含x的项是常数项，x的指数是零．师：求这一项用什么方法？生：把二项式展开，然后从中找出常数项．师：这样的办法在理论上是可以的，但在解决每一个具体问题时，是否都可操作呢？生：如果n比较小，写出的项数不多，写出所有项还可以，但如果n太大了，比如n=100，根本不可能写出101项来．师：那么如何处理更合理更简捷、更准确呢？生：应该利用通项公式．师：对，因为通项公式是二项

4、展开式每一项的代表，展开式某一项具有的性质，从这一项的表达式也能反映出来．如何利用通项公式求常数项？生：知道第r+1项是常数项，把r代入通项公式的右端，就能求出常数项了．师：现在的问题转化成了第几项是常数项了，谁能看出哪一项是常数项？（学生不语，摇头）师：看不出哪一些是常数项，怎么办？生：列关于项数的方程，求出项数．师：如果没第r+1项是常数项．我们要设法找到关于r的等量关系，得到关于r的方程，已知中有等量关系吗？生：就是第r+1项是常数项，也就是这一项x的指数应该等于零，这应该是所要的等量关系．师：那么x的指数从哪里去找呢？生：

5、当然还是利用通项公式．师：通过研究我们找到了解决问题的思路．先设第r+1项为不含x解出r后，再代回通项公式中，便可得到常数项，下面请同学们注意表述．（板书）令24-3r=0，解得r=8．所以展开式的第9项是不含x的项．因此T9师：当得知第9项是常数项之后，求第9项的问题就与例1类似了．归纳起来判断第几项是常数项，运用了方程的思想；找到这一项的项数后，就实现了转化，体现了转化的数学思想．21044例3求（1+x+x）（1-x）的展开式中，x的系数．师：问题提出后，我们看从什么地方入手？生：这个题与例2类似，也是不知道含x的项是第几项

6、，肯定得想办法求出项数．师：例2我们是从通项公式得出r的，这个已知式子的展开式的通项公式会求吗？生：（摇头）师：看来我们遇到的式子不是简单的二项式了，其实难以处理的是因式2101+x+x．我们能研究的是二项式（1-x），应该考虑如何转化为我们能处理的式子．2生：把（1-x）10看作单项式，将所给式子展开，得（1+x+x）（1-x）10=10102104（1-x）+x（1-x）+x（1-x）．在这个多项式中，每一项都含有x的项，分别求出相加就行了．4师：具体地说说如何求每项中含x的系数．4102104104103210生：（1-

7、x）的展开式中的x的系数的求法跟例2一样，x（1-x）的展开式中x的系数等于（1-x）的展开式中x的系数，同理x（1-x）的展开式中x的系数等于（1-x）的展开式中x的系数．4师：很好！将原式局部展开之后，利用加法原理，便可得到展开式中x的系数．（板书）21010102102解：由于（1+x+x）（1-x）=（1-x）+x（1-x）+x（1-x），则（1+x+x）10410432（1-x）的展开式中x的系数为（1-x）的展开式中x，x，x的系数之和．10432而（1-x）的展开式中含x，x，x的项分别是第5项、第4项和第3项

8、，104324则（1-x）的展开式中x，x，x的系数分别是：2所以（1+x+x）（1-x）10的展开式中x的系数为210-120+45=135．师：通过转化，把不能直接使用二项式定理有关知识的问题转化为可以用二项式定理解决的问题，转化方式唯一