例说平面图形的重心位置第一期.pdf

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1、g．貂；中学数学杂志2012年第11期●_例说平面图形酌重心位置安徽省太和县宫集镇中心学校236652王伟民“重力在物体上的作用点叫做物体的重心”，这利用物体的重心坐标公式，我们探讨一下几种常是物理学对物体重心的定义．见平面图形的重心位置．任何一个物体都可看作由很多个质点(物理学中1轴对称图形及中心对称图形的重心所讲的质点，指的是有一定质量但不占有空间的几何利用轴对称图形的性质及重心坐标公式，可以证点)所组成，而每个质点都会受到地球吸引力(即重明轴对称图形的重心一定在其对称轴上．力)的作用，这些质点所受的重力，其效果可以用一如图1，EF是某任意J，E个力来代替，即这些力的合力，合力的作用

2、点即为该一个轴对称图形的对称物体的重心．所以，要确定一个物体重心的位置，只轴，由于对称轴两侧的部一i需确定组成该物体的所有质点所受重力的合力即可分是全等形，而几何图形——合力的作用点便是我们需要确定的点．的重心相对于该图形的F对于平面状的物体来说，假设它由n个质点所组位置是确定的，所以，这图1成，并设这n个质点的质量分别为m，m，⋯，m，将两部分的重心P与Q也物体置于横轴与水平面平行的铅直平面直角坐标系关于直线EF对称．以P为坐标原点，PQ为轴正方向中，设这几个质点的坐标分别是：(。，Y。)、(，建立平面直角坐标系，设这两部分的质量均为m，并Y)⋯(，Y)，与地球相比，若物体的尺度不大，

3、组成设PQ=f，则Q点的坐标为(1,0)，所以，整个轴对称物体的各质点所受地球的引力(即质点重力)，方向图形的重心坐标(，Y)满足：可认为是互相平行的．由物理学平行力的合成法则可=(∑m)∑m知，这些质点所受重力之合力的作用点，坐标(，y)满足：=(2m)(m·0+m·1)=丢，=(∑m)∑m，i=If；1Y=(∑m)∑miY=(2m)(0+0)=0．Y=(∑mi)∑mY所以，点(，Y)在PQ的中点，即该点在对称轴=1f=1EF。该坐标点实际上是物体的质心(即物体的质量中心)，由上式可知，质心横坐标和纵坐标分别是组成物利用“轴对称图形的重心在其对称轴上”这一重体各质点的横坐标及纵坐标相对

4、于各质点质量的加要结论，我们很容易确定一些轴对称图形的重心位置，比如，线段的重心在线段的中点，矩形的重心在矩权平均数．当各质点所受重力相互平行时，物体的重心与质心重合．若离地球较近的物体尺度很大，比如形两对角线的交点，圆的重心在该圆的圆心等．用同样的方法我们可以证明，中心对称图形的重像月亮那么大，虽然组成物体的各质点所受重力仍竖直向下，但这些均“竖直向下”的力，其方向已不再平心，在该图形的对称中心．例如，平行四边形的重心，行，此时物体的重心与质心通常不再重合．而数学中在两条对角线的交点．所讲的几何体的重心，指的是质量分布均匀的物体，2三角形的重心tY一iJ各部分所受重力方向均平行的情形，

5、即物体的质心．如图2，对于任意△ABC，一个物体分成再多的部分，每一小部分仍然会占以顶点为坐标原点，AC边的有一定的几何空间，所以，质点只能是一种理想化的高所在的直线为轴建立平B。一j物理模型．求一个几何体的重心，通常是将该物体分面直角坐标系，则、C两点的成有限的几部分，并将这几部分看作重力集中在各部横坐标相等．设两点的坐标分分重心的质点，再利用上述坐标公式确定出整个几何别为A(‰，Y)和C(。，Y)，体的重心．则AC=Yl—Y2(Yl>Y2)．图218中学数学杂志2012年第11期§己％4臻医琵舅器毛g§己痈9从坐标原点起，用(n一1)条间距相等且与y轴平条中线的交点叫做三角形的重心—

6、—就是为了使平行的直线，将AABC分成n个小梯形(其中第一个为面物体的几何重心与物理重心相统一而下的．当然，三角形，可视为上底为0的“梯形”)．当n足够大时，对于质量分布均匀的三角形薄片，其几何重心一定与各小梯形可看作“矩形”，易知每个小“矩形”的宽为物理重心相重合，否则，如果三角形薄片的质量分布不均匀，其几何重心与物理重心一般情况下不再合，第i个小“矩形”的长是(y。一Y)，设AABC的II,，—一●质量为m，则其面密度(即单位面积的图形的质量)：3梯形的重心m2m利用物体重心坐标公式，容易推出下面的结论：一0(Y1一Y2)’若将物体分成两部分，则整个物体的重心在这两部分oYi一Y2重

7、心的连线上(图1的轴对称图形的坐标便是其中的故，~i+／l、“矩形”的质量=音()，-一y)．x_Eo一个特例)．梯形可看作是由与三。--f．2m；第个小“矩形”的重心横坐角形一边平行的直线将三角形截去一角而得到．如图标航：xo·(一1)C．3，AABC中，任作一条与所以，AABC重心横坐标为BC平行的直线EF，将AABC分成两部分：AAEF=lim(m)[·2m·(1一1)+·2m·—和梯形EFCB，用细线将质量分布均匀的AABC