北航10秋学期《线性代数》模拟题一.doc

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1、北航10秋学期《线性代数》模拟题一本复习题页码标注所用教材为：工程数学（线性代数）战线2000年10月第2版大学如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设A为2008阶可逆方阵，则（）A.B.C.D.参考答案：B2、已知的一次多项式，则式中一次项的系数为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B3、设为矩阵，则元齐次线性方程组存在非零解的充分必要条件是（）A．的行向量组线性无关B．的行向量组线性相关C．的列向量组线性无关D．的列向量组线性相关参考答案：C4、设列向量组，则与三阶行列式等值的行列式是（）（A）（B

2、）（C）（D）参考答案：C5、设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则（）A．B．C．D．参考答案：B一、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）6、A．对B．错参考答案：A7、两个对称矩阵一定合同。（）A．对B．错参考答案：B8、A．对B．错参考答案：A9、相似矩阵有相同的特征多项式。（）A．对B．错参考答案：A10、A．对B．错参考答案：B三、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11、设四阶行列式，是其元的代数余子式，则，。考核知识点：行列式的概念及计算，参见P35参考答案：68,-4812、设实二次型的秩

3、为4，正惯性指数为3，则其规形为。考核知识点：惯性定理与二次型的规形，参见P204参考答案：13、线性方程组有非零解的充要条件是满足考核知识点：齐次方程组解的结构，参见P128参考答案：14、若矩阵正定，则的取值围是。考核知识点：正定二次型与正定矩阵，参见P205参考答案：15、设矩阵与相似，则,.考核知识点：相似矩阵，参见P159参考答案：192,28016、设二次型的正惯性指数为，负惯性指数为，则等于。考核知识点：惯性定理与二次型的规形，参见P204参考答案：017、将二次型化为的可逆线性变换为.考核知识点：化二次型为标准型，参见P194参考答案：18、设向量、

4、的长度依次为2和3，则向量与的积=。考核知识点：向量及其运算，参见P79参考答案：-519、已知阶矩阵的特征值为，则的特征值为，的特征值为.考核知识点：矩阵的特征值，参见P149参考答案：3，－5，－11；3，7，1320、二次型的规型为。考核知识点：二次型的规形，参见P204参考答案：得　分评卷人四、计算题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）21、计算行列式考核知识点：行列式的定义及计算，参见P34参考答案：解：22、设3阶方阵A的三个特征值为，A的属于的特征向量依次为，，，求方阵A。考核知识点：矩阵的特征值与特征向量，参见P149参考答案：23、设矩阵与相似

5、，求，并求一个正交矩阵，使得.考核知识点：相似矩阵的概念及运算，参见P159参考答案：解：由与相似知，即；又也是的特征值，故，即，计算得，从而.当时，解方程有，，从而有解，单位化得；当时，解方程有，从而有两个正交解，单位化得；因此所求得正交矩阵.24、已知非齐次线性方程组（1）求方程组系数矩阵A的秩。（2）求的值。考核知识点：非齐次方程组解的结构，参见P137参考答案：25、考核知识点：齐次方程组解的结构，参见P128参考答案：五、证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）26、设为阶矩阵,证明：.考核知识点：矩阵及行列式的运算，参见P13，P34参考答案：证

6、明：当可逆时，；当时，有，从而；当且不可逆时，有否则，必可逆，从而由知必有，与矛盾；综上所述知结论成立。