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《高教版中职数学（基础模块）下册73《平面向量的内积》课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、主讲：张传玺7.3平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学过程】*创设情境兴趣导入Fs图7—21O如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100m．那么，这个人做了多少功？*动脑思考探索新知【新知识】我们知道
2、，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则i+yj即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即（J）W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500OxijF(x,y)y图7－22这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a,b，作＝b,由射线OA与OB所形成的角＝a,叫做向
3、量a与向量b的夹角，记作．两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b,即a·b＝｜a
4、
5、b
6、cos(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：时，a·b＝−
7、a
8、
9、b
10、.（1）当＝0时，a·b＝
11、a
12、
13、b
14、；当＝(2)cos＝.（3）当b＝a时，有＝0，所以a·a＝
15、a
16、
17、a
18、＝
19、a
20、2，即
21、a
22、＝（4）当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有a·b＝0ab
23、.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：(1)a·b＝b·a（2）()·b＝(a·b)＝a·(b)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（a·b）·c.请结合实例进行验证.*巩固知识典型例题例1已知
24、a
25、＝3,
26、b
27、＝2,＝,求a·b．解a·b＝
28、a
29、
30、b
31、cos＝3×2×cos＝3．例2已知
32、a
33、＝
34、b
35、＝,a·b＝,求解cos＝＝＝由于0≤≤所以＝*运用知识强化练习1.已知
36、a
37、＝7，
38、b
39、＝4，a和b的夹角为，求a·b．2.已
40、知a·a＝9,求
41、a
42、．3.已知
43、a
44、＝2,
45、b
46、＝3,＝，求(2a＋b)·b．*动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又
47、i
48、＝
49、j
50、＝1，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1i•j＋y1y2j•j＝x1x2
51、j
52、2＋y1y2
53、j
54、2＝x1x2＋y1y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2(7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,
55、y)，则，即(7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时，cos＝＝(7.13)利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知a·b＝0x1x2＋y1y2＝0因此abx1x2＋y1y2＝0．(7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．*巩固知识典型例题例3求下列向量的内积：（1）a＝(2,−3),b＝(1,3)；（2）a＝(2,−1),b＝(1,2)；（3）a＝(4,2),b＝(−2,−3)．解(1)a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2)
56、a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；(3)a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b,
57、a
58、,
59、b
60、,．解a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5；
61、a
62、＝
63、b
64、＝cos＝＝．所以＝例5判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(−2,3),b＝(6,4)；(2)a＝(0,−1),b＝(1,−2)．解(1)因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以ab(2)因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．*运用知识强化练习1、已知a＝(5,−4)，b＝(2,3
65、)，求a·b2、已知a＝(1,），b＝(0,），求．3、已知a＝(2,−3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3)
