牛吃草问题介绍.doc

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1、解题关键：牛顿问题俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量-—生长的草量=消耗原有的草量)；4、最后求出牛可吃的天数。5、每头牛一天吃多少草规律总结牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。基本思路：假设每头牛吃草的

2、速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。　　基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；　　关键问题：确定两个不变的量。　　基本公式：　　生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；　　原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；　　牛吃草问题常用到四个基本公式：　　牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于

3、吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰　　（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；　　（2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`　　（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；　　（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。例1、牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完．假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？解：设1头牛吃一周的草量的为一份．（1）24头牛吃6周的草量24

4、×6=144（份）（2）18头牛吃10周的草量18×10=180（份）（3）（10-6）周新长的草量180-144=36（份）（4）每周新长的草量36÷（10-6）=9（份）（5）原有草量24×6-9×6=90（份）或18×10-9×10=90（份）（6）全部牧草吃完所用时间不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量，剩下的10头牛吃原有草量，有90÷（19-9）=9（周）答：供19头牛吃9周．例2、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草

5、吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：　　（1）求草每天的生长量　　因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以　　1×10×20＝原有草量＋20天内生长量　　同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量　　由此可知（20－10）天内草的生长量为　　1×10×20－1×15×10＝50　　因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5　　（2）求原有草量　　原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×

6、10＝100　　（3）求5天内草总量　　5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125　　（4）求多少头牛5天吃完草　　因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。　　因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）　　答：需要5头牛5天可以把草吃完。例3、画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间？解答：设每一个入场口每分钟通过"1"份人，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析3个入场口9分钟3×9＝27：原有

7、人＋9分钟来的人5个入场口5分钟5×5＝25：原有人＋5分钟来的人从上易发现：4分钟来的人＝27－25＝2，即1分钟来的人＝0.5；那么原有的人：27－9×0.5＝22.5；这些人来到画展用时间22.5÷0.5=45（分）。第一个观众到达的时间为9点－45分=8点15分。例4、一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛