柯西法解方程.doc

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1、柯西法在f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解例6设f(x)连续且不恒为0，求函数方程f(x+y)=f(x)f(y)的解解：∵f(x)=f(x+y)=f(x)f(y)≥0若存在x0∈R，使f(x0)=0。则对一切实数x，有f(x)=f(x－x0+x0)=f(x－x0)f(x0)=0这与f(x)不恒为0矛盾，故f(x)>0对题设f(x+y)=f(x)f(y)两边取自然对数，得㏑f(x+y)=㏑f(x)f(y)∴㏑f(x+y)=㏑f(x)+㏑f(y)令g(x)=㏑f(x)∵f(x)>0且连续∴g(x)连续且满足g(x+y)=g(x

2、)+g(y).由定理知：g(x)=g(1)x故㏑f(x)=x㏑f(1)∴f(x)=e^x㏑f(1)=f(1)^x令f(1)=a，则f(x)=a^x(a>0)类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：（1）若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),则f(x)=㏒ax（2）若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),则f(x)=ux(u由初值给出)（3）若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,则f(x)=ax2+bx（4）若f(x+y)+f(x－y)=2f(x),则f(x)=ax+b