网络图论与状态方程课件.ppt

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1、12网络图论与状态方程王超1本章知识要点：※　连通图与割集※关联矩阵A与基尔霍夫定律※回路矩阵B与基尔霍夫定律※割集矩阵Q与基尔霍夫定律※节点电压方程的矩阵形式※回路电流方程的矩阵形式※割集电压方程的矩阵形式※状态方程212.1.1图、边和顶点1.边如图12-1所示的几何图形中，每一直线段或曲线段都叫作边，在电路中则称为支路。12.1连通图与割集图12-1电路的图2.顶点线段的端点称为顶点，在电路中称为节点3.图图便是边和顶点的集合。312.1.2子图设有图G，另有图Gi，且Gi是由G的一些节点或节点与支路组成的，则称Gi为G的

2、子图。图12-2电路图12-1的子图412.1.3连通图如果一个图的任意两个节点之间都存在由一条或若干条支路构成的路径，则称此图为连通图。仅含有一个节点的图也称为连通图。在每条支路上均标注了支路电流参考方向的图，称为有向图。12.1.4有向图512.1.5树1.树包含全部节点，但不包含回路的连通子图，称为树。2.树支构成树的支路，称为树支。3.连支属于连通图但不属于树的支路，称为连支。61.割集的概念割集是连通图一部分特殊支路的集合，它们满足如下两个条件：（1）如果把这些支路全部移去，剩下的图将成为几个分离的部分；（2）如果留下

3、其中任意一条支路，剩下的图仍然是连同的。12.1.6割集及其方向2.基本割集在一个连通图上选定一颗树后，n-1个单树支割集称为基本割集。3.割集的方向对单树支割集而言，其方向与它所含树支电流的方向一致。71.有向图的矩阵表示用一种特有的矩阵来表示电路的有向图的特征，以便对电路的联结特点有进一步的了解，称为有向图的矩阵表示。12.2关联矩阵A与基尔霍夫定律表征支路与节点之间关系的矩阵，称为关联矩阵A表征支路与回路之间关系的矩阵，称为回路矩阵B表征支路与割集之间关系的矩阵，称为割集矩阵Q81.定义对于一个有n个节点，b条支路的有向图

4、，定义一个n行b列的nxb阶矩阵Aa，称为关联矩阵，来表征支路和节点的联结关系。矩阵Aa中的元素ajk（j指节点号，k指支路号）按下述要求规定：12.2.1关联矩阵A的定义（1）ajk=+1，表示支路k与节点j关联，且支路k的电流参考方向是从节点j流出；（2）ajk=-1，表示支路k与节点j关联，且支路k的电流参考方向是从节点j流入；（3）ajk=0，表示支路k与节点j无关联。9图12-3有向图节点k支路s12345612341012.2.2关联矩阵A表示的基尔霍夫定律对图12-2-1设，即为支路电流列向量。可得基尔霍夫电流定律

5、的矩阵表达式：11将表达式展开：显然，此式代表n个节点的kcl方程式组成的线性齐次方程组12若把中任一行划去，剩下（n-1）×b矩阵，则称为降阶关联矩阵[A]。例如，划去上式中第四行，即表示以节点4为参考节点，则：上式即为支路和节点的降阶关联矩阵1312.3回路矩阵B与基尔霍夫定律12.3.1回路矩阵B的定义回路矩阵B就是回路与支路相关连的矩阵。它的每行对应一个回路，每列对应一个支路。其元素定义如下：表示支路k与回路j相关连，并表示它们的方向一致；表示支路k与回路j相关连，并表示它们的方向相反；表示支路k与回路j无关连。14以图

6、12－3为例：可得b=6,n=4,独立回路数为3则回路矩阵为：图12-3有向图15回路矩阵B与支路电压列向量的乘积是一个L阶列向量。故有：这就是矩阵形式的基尔霍夫电压定律12.3.2回路矩阵B表示的基尔霍夫定律16表示一个L阶回路电流列向量：支路电流列向量：回路矩阵B表示的基尔霍夫电流定律为：1712.4割集矩阵Q与基尔霍夫定律12.4.1割集矩阵Q的定义割集与支路关联的情况用矩阵描述，称为割集矩阵Q，它的每一行对应一个割集，每一列对应一个支路。由于割集就是树支数，所以割集矩阵是(n-1)×b阶矩阵。Q的元素定义如下：表示支路k

7、与割集j关联，且它们的方向一致；表示支路k与割集j关联，且它们的方向相反；表示支路k与割集j无关联。18对图12-3，可得割集矩阵为：割集c支路s：1234561231912.4.2割集矩阵Q表示的基尔霍夫定律设则有这就是割集矩阵Q表示的基尔霍夫电流定律2012.5节点电压方程的矩阵形式12.5.1矩阵形式节点方程的推导12-4节点电压方程的阻抗形式的标准支路模型2112-5节点电压方程的导纳形式的标准支路模型22k支路电压、电流关系：设Z=diag[Z1Z2Zb]Y=diag[Y1Y2Yb]Z=Y-123即支路电压的矩阵方

8、程为：由k支路电压、电流关系：可得：24由矩阵形式的KCL：故：由矩阵形式的KVL：即为节点导纳矩阵得节点电压方程由下面步骤可求得支路电压和电流25一般的，写矩阵形式的节点电压方程，可归结为以下步骤：1）作有向图，对支路和节点编号，选参考节点；2）写关联矩阵A；