二次函数( 含问题详解).doc

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1、二次函数一、知识梳理1.二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递增；在x∈上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称3.思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x

2、∈[a，b]的最值一定是.(　×　)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(　×　)(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(　×　)(4)当n>0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数．(　×　)(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±.(　×　)(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(　×　)一、基础自测1．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为(　　)A.B.

3、C．1D．－1答案　D解析　因为b>0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1，故选D.2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值围为________．答案　[1,2]解析　y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2.∴m＝1与m<1矛盾，舍去．当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2

4、×1＋3＝2，ymax＝f(0)＝3.当m>2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，∴m＝0或m＝2，与m>2矛盾，舍去．综上所述，1≤m≤2.3.(2014·)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值围是________．答案　(－，0)解析　作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有即解得－

5、数a的取值围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(

6、x

7、)的单调区间．解　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(

8、x

9、

10、)＝x2＋2

11、x

12、＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝∴f(

13、x

14、)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．【思维升华】　(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．变式1求函数在[0,2]上的值域.变式2(1)已知函数在区间上有最小值3,求.(2)已知二次函数,若在上的最小值为,求的表达式.变式3(1)

15、如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．(2)若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值围是________．答案　(1)5　(2)(－∞，－3]解析　(1)由题意知得则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.(2)∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－，∴－≤－1，∴m≥4.又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]．题型二　二次函数的应用例2　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)

16、若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]