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《线性代数课后练习参考问题详解(初稿).doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1.用行列式定义计算下列各题(1)(2)(3)(4)2.利用行列式的性质计算下列各题(1)(2)(3)(4)(5)===(6)(7)(8)3.证明下列各题(1)(2)(证明略)(3)(4)设,则按最后一行展开,可得.4.解法参考例1.11.5.问齐次线性方程组有非零解时,必须满足什么条件?解:齐次线性方程组有非零解,当且仅当.又解得,或,或.所以,当或,或,齐次线性方程组有非零解.习题二1.2.解:由,得3.解:4.解:(1)(2),(3)(4)5.解:(1)错误,令则有;(2)错误,令则有(3)错误,令则可得(4)错误,设则
2、有,但(5)错误,设则有,但6.解:7.证明:因为为对称矩阵,所以.故因此,是对称矩阵.8.证明:因为所以是对称矩阵.9.解:由得.10.对作数学归纳法.当时,,结论成立.假设,当时,结论成立,即.下证结论成也立.由归纳假设可得,因此,由归纳法可得.11.(1)解:由初等行变换可得,(2)解:由初等行变换可得,12.解法见第38页例2.14.13.(1)解:,当时,方程组无解,当时,方程组的增广矩阵为因此方程组的解为,为任意常数,当,且时,方程组有唯一解,(2)解:当时,方程组无解,方程组的增广矩阵为因此方程组的解为,为任意常数,当时,方程组无解,当且时,方程组有
3、唯一解,14.解:通过初等变换,可得的标准型矩阵为,15.解析:通过初等行变换可将矩阵化为,则例如(1)通过初等行变换,,故相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵,答案见教材第177页.16.解:原线性方程组可写成,因此,17.(1)由原矩阵方程可得,(2)由原矩阵方程可得(3)由原矩阵方程可得18证明:因为,所以19.解:由,得,,因此,20.证明:由,且可逆得,,因此,可逆,且21.令,则,因此.22.证明:若可逆,则有,所以可逆,且反之,若可逆,设其逆为,则,,因此,,因此可逆.23.证明:用反证法.假设是奇异矩阵,则由,得,即,这与已知条件矛盾,所以是非奇异矩
4、阵.习题三1.2.解:设即解得,,因此3.解:由得.4.类似第2题的解法,可得5.(1)解:设即,上面方程组只有零解,所以线性无关.(2)因为,所以秩(A)=2,故线性相关.6.用反证法容易证明结论成立.7.证明:(1)设则有又因为线性无关,所以因此线性无关.(2)若线性相关,则存在不全为零的数使得因此故而线性相关.8.证明:设整理得,,因为线性无关,所以又因为,所以上面方程组只有零解,故线性无关.设整理得,又因为线性无关,所以解得上面方程组只有零解,因此,线性无关.证明:9.()设,和则,,又的表达式唯一,因此即故,线性无关.()设,则,因为线性无关,所以,故的
5、表达式唯一.10.证明:因为线性相关,则存在不全为零的数使得,若有某个,不妨设,则有又任一向量都线性无关,因此,这与不全为零矛盾,因此全不为零,命题得证.11.答案见教材178页.12.解:(1)因为所以,当即时,线性无关.(2)当时,线性相关,且13.解:(1)因为因此,向量组的秩为2,是一个极大线性无关组,且用类似的方法可求(2),(3),答案见教材.14.(1)因为,有一个二阶子式,所以秩()=2,即线性无关.(2)容易计算线性无关.15.答案见教材.16.(1)任取则有,所以,,因此,是线性空间.(2)任取,则有,因此,因此,不是线性空间.17.证明:因为
6、,所以线性无关,即秩()=3,故生成的子空间就是.18.因为所以,秩()=3,故是的一组基.令,即因此,解得,所以.19.方法见例3.17.20.见教材答案21.证明:因为是正交阵,所以.又即.因此,,故是正交阵.习题四1.解(1),所以,原方程组与下面方程组同解,选取作为自由未知量,解得基础解系为,因此,方程组的解为(2),选取选取作为自由未知量,解得基础解系为故方程组的同解为(3)见教材答案(4)见教材答案1.(1)对增广矩阵做行初等变换得解得特解为,对应的齐次线性方程组的基础解系为,因此方程组的同解为+(2)答案见教材3.(略)4.证明:令为n阶单位矩阵的第
7、i列,即,则有,因此故。5.证明:将按列分块,由,可得,,即都是方程组的解,因此,r(B)-r(A),所以,r(A)+r(B).习题五1.(1),解得特征值为当时,解方程组,即基础解系为,因此属于特征值为的特征向量为当时,解方程组,即基础解系为,因此属于特征值为的特征向量为(2)解法同(1),答案见教材。2.由得因此特征值为当时,解方程组,得基础解系为因此对应的特征向量为,不同时为零当时,解方程组,得基础解系为因此对应的特征向量为,不为零。1.设是的一个特征是,是其对应的特征向量,即。由所以故又因为,所以因此或者4.设是的一个特征是,是其对应的特征向量,即。由所以
8、故又因为,