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《线性代数课后练习参考问题详解(初稿).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1.用行列式定义计算下列各题（1）（2）（3）（4）2.利用行列式的性质计算下列各题（1）（2）（3）（4）（5）===（6）（7）(8)3.证明下列各题（1）（2）（证明略）（3）（4）设，则按最后一行展开，可得.4.解法参考例1.11.5.问齐次线性方程组有非零解时，必须满足什么条件？解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当.又解得，或，或.所以，当或，或，齐次线性方程组有非零解.习题二1.2.解：由，得3.解：4.解：（1）（2），（3）（4）5.解：（1）错误，令则有；（2）错误，令则有(3)错误，令则可得(4)错误，设则
2、有，但（5）错误，设则有，但6．解：7．证明：因为为对称矩阵，所以.故因此，是对称矩阵.8.证明：因为所以是对称矩阵.9.解：由得.10.对作数学归纳法.当时,,结论成立.假设,当时,结论成立,即.下证结论成也立.由归纳假设可得,因此，由归纳法可得.11.（1）解：由初等行变换可得，（2）解：由初等行变换可得，12.解法见第38页例2.14.13.(1)解：，当时，方程组无解，当时，方程组的增广矩阵为因此方程组的解为，为任意常数，当，且时，方程组有唯一解，（2）解：当时，方程组无解，方程组的增广矩阵为因此方程组的解为，为任意常数，当时，方程组无解，当且时，方程组有
3、唯一解，14.解：通过初等变换，可得的标准型矩阵为，15.解析：通过初等行变换可将矩阵化为，则例如（1）通过初等行变换，，故相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页.16.解：原线性方程组可写成，因此，17.（1）由原矩阵方程可得，（2）由原矩阵方程可得（3）由原矩阵方程可得18证明：因为，所以19．解：由，得，，因此，20.证明：由，且可逆得，，因此，可逆，且21.令，则，因此.22.证明：若可逆，则有，所以可逆，且反之，若可逆,设其逆为，则，，因此，，因此可逆.23.证明：用反证法.假设是奇异矩阵，则由，得，即，这与已知条件矛盾，所以是非奇异矩
4、阵.习题三1.2.解:设即解得,,因此3.解:由得.4.类似第2题的解法，可得5.(1)解:设即，上面方程组只有零解，所以线性无关.(2)因为,所以秩(A)=2,故线性相关.6.用反证法容易证明结论成立.7.证明:(1)设则有又因为线性无关,所以因此线性无关.(2)若线性相关,则存在不全为零的数使得因此故而线性相关.8.证明:设整理得,,因为线性无关,所以又因为,所以上面方程组只有零解,故线性无关.设整理得,又因为线性无关，所以解得上面方程组只有零解，因此，线性无关.证明：9.（）设，和则，，又的表达式唯一，因此即故，线性无关.（）设，则，因为线性无关，所以，故的
5、表达式唯一.10.证明：因为线性相关，则存在不全为零的数使得，若有某个，不妨设，则有又任一向量都线性无关，因此，这与不全为零矛盾，因此全不为零，命题得证.11.答案见教材178页.12.解:(1)因为所以，当即时，线性无关.(2)当时，线性相关，且13.解：（1）因为因此，向量组的秩为2，是一个极大线性无关组，且用类似的方法可求（2），（3），答案见教材.14.(1)因为，有一个二阶子式，所以秩（）=2，即线性无关.（2）容易计算线性无关.15.答案见教材.16.(1)任取则有，所以，，因此，是线性空间.(2)任取,则有，因此，因此，不是线性空间.17.证明：因为
6、，所以线性无关，即秩（）=3，故生成的子空间就是.18.因为所以，秩（）=3，故是的一组基.令，即因此，解得，所以.19.方法见例3.17.20.见教材答案21.证明：因为是正交阵，所以.又即.因此，，故是正交阵.习题四1.解（1）,所以，原方程组与下面方程组同解，选取作为自由未知量，解得基础解系为，因此，方程组的解为（2），选取选取作为自由未知量，解得基础解系为故方程组的同解为（3）见教材答案（4）见教材答案1.（1）对增广矩阵做行初等变换得解得特解为，对应的齐次线性方程组的基础解系为，因此方程组的同解为+（2）答案见教材3.（略）4.证明：令为n阶单位矩阵的第
7、i列，即,则有，因此故。5.证明：将按列分块，由，可得，，即都是方程组的解，因此，r（B）-r（A）,所以，r(A)+r(B).习题五1.(1),解得特征值为当时，解方程组，即基础解系为，因此属于特征值为的特征向量为当时，解方程组，即基础解系为，因此属于特征值为的特征向量为（2）解法同（1），答案见教材。2.由得因此特征值为当时，解方程组，得基础解系为因此对应的特征向量为，不同时为零当时，解方程组，得基础解系为因此对应的特征向量为，不为零。1.设是的一个特征是，是其对应的特征向量，即。由所以故又因为，所以因此或者4.设是的一个特征是，是其对应的特征向量，即。由所以
8、故又因为，
