高中数学直线与圆习题精讲精练.pdf

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1、圆与直线一、典型例题例1、已知定点P（6，4）与定直线：y=4x，过P点的直线与交于第一象限Q点，与x11轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线方程。分析：直线是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。设Q（x，4x），M（m，0）00∵Q，P，M共线∴k=kPQPM44x4∴06x6m05x解之得：m0x10∵x>0，m>00∴x-1>00110x2∴S

2、OM

3、4x2mx0OMQ200x10令x-1=t，则t>0010(t

4、1)21S10(t2)≥40tt当且仅当t=1，x=11时，等号成立0此时Q（11，44），直线：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S的函数关系式，再由基本不等式再此目△OQM标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：（1）BC边上的高所在直线方程；（2）AB边中垂线方程；（3）∠A平分线所在直线方程。分析：（1）∵k=5BC1∴BC边上的高AD所在直线斜率k=51∴AD所在直线方程y+1=

5、(x-2)5即x+5y+3=0（2）∵AB中点为（3，1），k=2AB∴AB中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。∵k=-1，k=2ACABk12k∴1k12k∴k2+6k-1=0∴k=-3-10（舍），k=-3+10∴AE所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一

6、2xy5

7、

8、xy1

9、点，则P到AB、AC距离

10、相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关52于AE对称。例3、（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程。分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。（1）法一：从数的角度若选用标准式：设圆心P（x，y），则由

11、PA

12、=

13、PB

14、得：(x-5)2+(y-2)2=(x-3)2+(y-2)20000又2x-y-3=000x

15、4两方程联立得：0，

16、PA

17、=10y50∴圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10DE若选用一般式：设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（,）2252225D2EF0∴32223D2EF0DE2()()3022D8解之得：E10F31法二：从形的角度2xy30AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，x45）∴半径r=

18、PA

19、=10显然，充分利用平几知识明显降低了计算量（2）设A关于直线x+2y=0的对称点为A’由已知AA’为圆的

20、弦∴AA’对称轴x+2y=0过圆心设圆心P（-2a，a），半径为R则R=

21、PA

22、=(-2a-2)2+(a-3)2

23、2aa1

24、又弦长222R2d2，d2(3a1)2∴R222(3a1)2∴4(a+1)2+(a-3)2=2+2∴a=-7或a=-3当a=-7时，R=52；当a=-3时，R=244∴所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，（1）求实数m取值范围；（2）求圆半径r取值范围；（3）求圆心轨迹方程。分析：（1）m满

25、足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，即7m2-6m-1<01∴m17316（3）半径r=7m26m17(m)2771∵m17347∴m时，r7max74∴0