高中数学向量总结归纳.pdf

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1、平面向量的数量积及平面向量的应用1.定义及运算律.两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.设a及b是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把

2、a

3、·

4、b

5、·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=xxyy.1212其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a·b=b·a，(λ·a)·b=λ(a·b)，(a±b)·c=a·c±b·c.2.平面向量数量积的重要性质.①

6、a

7、=(ab)aa=

8、a

9、

10、a

11、cos

12、a

13、2;cosθ=;

14、a·b

15、

16、≤

17、a

18、·

19、b

20、,当且仅当a,b共线时

21、a

22、

23、b

24、取等号.(xxyy)②设a=(x,y),b=(x,y),则:

25、a

26、=x2y2;cosθ=1212;

27、xx+yy

28、≤1122121211x2y2x2y21122x2y2x2y211223.两向量垂直的充要条件若a,b均为非零向量,则:a⊥ba·b=0.若a=(x,y),b=(x,y),则a⊥bxx+yy=0.112212124.向量的模及三角不等式

29、a

30、2=a·a或

31、a

32、=aa;

33、a·b

34、≤

35、a

36、·

37、b

38、;

39、a

40、2-

41、b

42、2=(a+b)·(a-b);

43、a±b

44、=a2b22

45、a

46、

47、b

48、cos(θ为a,b

49、夹角);

50、

51、a

52、-

53、b

54、

55、≤

56、a±b

57、≤

58、a

59、+

60、b

61、.5.三角不等式的推广形式

62、a+a+…+a

63、≤

64、a

65、+

66、a

67、+…+

68、a

69、.12n12n小练习一【例1】计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC边长为1,且BC=a,CA=b,AB=c,求a·b+b·c+c·a;(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量,且

70、a

71、=1,

72、b

73、=2,

74、c

75、=3,求r=a+b+c的长度以及它和a,b,c的夹角;(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求a、b的夹角;2(4)已知

76、a

77、=2,

78、b

79、=5,a,b的夹角是π,p=3a-b,q=λa+17b,问系数λ取向

80、值时，p⊥q.3【解前点津】(1)利用x2=x·x,通过对(a+b+c)2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解之即得.【规范解答】(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=3-2(a·b+b·c+c·a)=03a·b+b·c+c·a=.2ra(2)cosr,a=,∵

81、r

82、=r2且

83、r

84、

85、a

86、r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=14-2(a·b+b·c+c·a)=14.∴

87、r

88、=14(abc)

89、a

90、a

91、214cosr,a=;14

92、a

93、14

94、a

95、14(abc)b

96、b

97、214cosr,b=;14

98、b

99、14

100、b

101、7(abc)c

102、c

103、23cosr,c=.14

104、c

105、14

106、c

107、14(3)由条件:(a+3b)·(7a-5b)=7

108、a

109、2-15

110、b

111、2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7

112、a

113、2+8

114、b

115、2-30a·b=0ab1

116、a

117、2=

118、b

119、2=2a·b(

120、a

121、·

122、b

123、)2=4(a·b)2.

124、a

125、

126、b

127、2由cosa,b=1得:a,b=;23由cosa,b=-1得:a,b=2.23(4)令p·q=0

128、得:(3a-b)·(λa+17b)=03λ

129、a

130、2-17

131、b

132、2+(51-λ)a·b=0①2将

133、a

134、=2,

135、b

136、=5,a·b=

137、a

138、·

139、b

140、·cos代入①得3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40.3【解后归纳】综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.【例2】在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一个内角为直角，求k的值.【解前点津】因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论.【规范解答】①当∠A=90°时,因为AB·AC=0,2∴2×1+3·k=0,∴k=-.3②当∠B=90°时,BC=AC

141、-AB=(1-2,k-3)=(-1,k-3)11∵AB·BC=0,∴2×(-1)+3×(k-3)=0k=.333③当∠C=90°时,∵AC·BC=0,∴-1+k·(k-3)=0,k2-3k-1=0k=.221133∴k的取值为:-,或.332【例4】已知平行四边形以a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边.(1)求它的边长和内角;(2)求它的两对角线的长和夹角.【解前点津】利用内积的有关运算性质.【规范解答】(1)

142、a

143、=22125,

144、b

145、=12(3)