高中数学向量总结归纳

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1、平面向量的数量积及平面向量的应用1.定义及运算律.两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.设a及b是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把

2、a

3、·

4、b

5、·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=.其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a·b=b·a，(λ·a)·b=λ(a·b)，(a±b)·c=a·c±b·c.2.平面向量数量积的重要性质.①

6、a

7、==;cosθ=;

8、

9、a·b

10、≤

11、a

12、·

13、b

14、,当且仅当a,b共线时取等号.②设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:

15、a

16、=;cosθ=;

17、x1x2+y1y2

18、≤3.两向量垂直的充要条件若a,b均为非零向量,则:a⊥ba·b=0.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥bx1x2+y1y2=0.4.向量的模及三角不等式

19、a

20、2=a·a或

21、a

22、=;

23、a·b

24、≤

25、a

26、·

27、b

28、;

29、a

30、2-

31、b

32、2=(a+b)·(a-b);

33、a±b

34、=(θ为a,b夹角);

35、

36、a

37、-

38、b

39、

40、≤

41、a±b

42、≤

43、a

44、+

45、b

46、.5.三角不等式的推广

47、形式

48、a1+a2+…+an

49、≤

50、a1

51、+

52、a2

53、+…+

54、an

55、.小练习一【例1】计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC边长为1,且=a,=b,=c,求a·b+b·c+c·a;(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量,且

56、a

57、=1,

58、b

59、=2,

60、c

61、=3,求r=a+b+c的长度以及它和a,b,c的夹角;(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求a、b的夹角;(4)已知

62、a

63、=2,

64、b

65、=5,a,b的夹角是π,p=3a-b,q=λa+17b,问系数λ取向值时，p⊥q.【

66、解前点津】(1)利用x2=x·x,通过对(a+b+c)2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解之即得.【规范解答】(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=3-2(a·b+b·c+c·a)=0a·b+b·c+c·a=.(2)cosr,a=,∵

67、r

68、=且r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=14-2(a·b+b·c+c·a)=14.∴

69、r

70、=

71、cosr,a=;cosr,b=;cosr,c=.(3)由条件:(a+3b)·(7a-5b)=7

72、a

73、2-15

74、b

75、2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7

76、a

77、2+8

78、b

79、2-30a·b=0

80、a

81、2=

82、b

83、2=2a·b(

84、a

85、·

86、b

87、)2=4(a·b)2.由cosa,b=得:a,b=;由cosa,b=-得:a,b=.(4)令p·q=0得:(3a-b)·(λa+17b)=03λ

88、a

89、2-17

90、b

91、2+(51-λ)a·b=0①将

92、a

93、=2,

94、b

95、=5,a·b=

96、a

97、·

98、b

99、·cos代入①得3λ·4-1

100、7×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40.【解后归纳】综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.【例2】在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角，求k的值.【解前点津】因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论.【规范解答】①当∠A=90°时,因为·=0,∴2×1+3·k=0,∴k=-.②当∠B=90°时,=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3)∵·=0,∴2×(-1)+3×(k-3)=0k=.③当∠C=90°时,∵·=0,∴-1+

101、k·(k-3)=0,k2-3k-1=0k=.∴k的取值为:-,或.【例4】已知平行四边形以a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边.(1)求它的边长和内角;(2)求它的两对角线的长和夹角.【解前点津】利用内积的有关运算性质.【规范解答】(1)

102、a

103、=,

104、b

105、=cosα=,∴α=π-arccos.(2)

106、a+b

107、=,

108、a-b

109、=.cosβ=.【解后归纳】本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解.小练习二一、基础夯实1.已知

110、a

111、=1,

112、b

113、=,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是()A.60°

114、B.30°C.135°D.45°2.已知

115、a

116、=2,

117、b

118、=1,a与b之间的夹角为,则向量m=a-4b的模为()A.2B.2C.6D.123.a,b是两个非零向量,(a+b)2=a2+b2是a⊥b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.若a=(-4,3),b=(5,6),则3

119、a

120、2-4a·b等于()A.23B.57C.63D.835.已知a=(λ,2),b