一阶倒立摆项目报告.doc

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1、一阶倒立摆项目报告13级自动化卓越班小组成员：李迎迎李艳艳张婧娴徐山姚红娟目录一、系统概述………………………………………………………11.1系统介绍……………………………………………………………11.2项目内容……………………………………………………………11.3系统分析步骤………………………………………………………1二、数学建模2.1受力分析……………………………………………………………22.2方框图………………………………………………………………2三、根轨迹分析3.1设计控制器………………………………………………

2、…………73.2根轨迹图……………………………………………………………10四、频域分析4.1校正后传递函数……………………………………………………114.2校正前后波特图……………………………………………………12五、PID控制5.1系统加入PID………………………………………………………135.2自动调节PID参数…………………………………………………135.3加入PID后的阶跃响应……………………………………………135.4加入PID后的脉冲响应……………………………………………13六、结论和分析一、系统概述1.

3、1系统介绍：如下图1所示为一由小车、摆杆、电机、皮带构成的直线一级倒立摆系统，在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，直线一级倒立摆系统可抽象成小车和匀质杆组成的系统。1.2项目内容：图2是系统中小车和摆杆的受力分析图，请以向右的加速度为输入，摆杆角度为输出，建立此系统的数学模型。试分析系统的稳定性、利用根轨迹法设计控制器，使得校正后系统的要求如下：σ%<10%,求此时各动态性能指标，单位脉冲信号下的稳态误差；利用频率特性设计控制器Gc(s)，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50º，增益裕量等于或大于10分贝。图

4、1图2实际系统的模型参数如下：M小车质量　　　1.096Kgm　　摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl　　　摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI　　　摆杆惯量　　0.0034Kg*m*m1.3系统分析步骤：1、数学建模（确定传递函数）2、时域分析（由于倒立摆是不稳定系统，通过MATLAB分析稳定性无意义）3、根轨迹（观察根轨迹图像，加入零极点让系统趋于稳定）4、频域分析二、数学建模2.1系统受力分析：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示。

5、我们做了以下假设：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）系统中小车和摆杆的受力分析图如下：其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。【注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。】分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：①由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：②即：③把这个等式代入

6、①式中，就得到系统的第一个运动方程④为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：⑤⑥力矩平衡方程如下：⑦注意：此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ,cosϕ=-cosθ,sinφ=-sinθ，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：⑧设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理⑨对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到⑩注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度φ，求解方程组的第一个

7、方程，可以得到：⑾⑿⒀把上式代入方程组的第二个方程，得到：⒁系统的传递函数：代入实际数据，得到以加速度为输入，摆杆角度为输出的开环传递函数：倒立摆倒立摆2.2系统结构方框图：伺服电机伺服驱动器运动控制卡计算机倒立摆倒立摆光电码盘1光电码盘2倒立摆倒立摆三.根轨迹分析3.1设计控制器：设计控制器使得校正后系统的要求如下：调整时间ts=0.5s(2%)最大超调量。根轨迹设计编写程序如下：>>num=[0.02725];den=[0.0-0.26705];G=tf(num,den)[z,p,K]=tf2zp(num,den

8、)sys=zpk(z,p,K)%原系统零极点表达式subplot(3,2,1),rlocus(sys);%绘制原系统根轨迹t=0:0.005:10;subplot(3,2,2),step(sys,t)%绘制原系统阶跃相应曲线OverStep=0.1;%设置超调量AdjustTime=0.5;%设置调整时间zeta1=abs(sqrt((log(