大学线性代数课件：第一章 矩阵第7节.ppt

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1、第一章矩阵§1.7矩阵的秩§1.7矩阵的秩一.基本概念,1.矩阵的k阶子式,例：3阶子式问:这样的3阶子式共?个3阶子式mn3行3列第一章矩阵§1.7矩阵的秩例如:A=2041013240822,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2的1阶子式有34个:A的2阶子式有36个:0413,0112,4132,2001,2403,2102,0408,0102,4182,2040,2448,2142,0140,32820348,0242,1308,1202,第一章矩阵§1.7矩阵的秩2041013240

2、82的3阶子式有14个:204013408201012402241032482041132082,,,第一章矩阵§1.7矩阵的秩②r(AT)=r(A).2.矩阵A的秩(rank)记为r(A)或秩(A)r(A)=rA中至少有一个r阶子式D不为零A的所有r+1阶子式都等于零(如果存在)注:①零矩阵的秩规定为0.204101324082而3阶子式全为0,因此它的秩为2.例如有一个2阶子式20010,第一章矩阵§1.7矩阵的秩例.求32050323612015316414的秩此例说明对于一个阶数较高且非零元比较多的矩阵

3、来说,按照定义求它的秩计算量较大第一章矩阵§1.7矩阵的秩40829030120004700000例.的秩为.3注:从上例看出行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的数目.性质:任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形.现在考察矩阵初等行变换是否改变矩阵的秩?第一章矩阵§1.7矩阵的秩二.几个重要的结论1.初等行变换不改变矩阵的秩即:定理.初等变换不改变矩阵的秩第一章矩阵§1.7矩阵的秩(1)rirj不改变矩阵的秩(2)rik不改变矩阵的秩,k≠0(3)ri+krj不改变矩阵的秩第一章矩阵§1.7矩阵的秩2.初等列变换不改变矩阵的秩矩阵的等价:

4、矩阵A,B称为等价的,如果A可经过初等变换化为B,于是(1)等价的矩阵具有相同的秩.(2)设B=PAQ,其中P,Q为可逆矩阵,则r(A)=r(B).第一章矩阵§1.7矩阵的秩例.设A=10121011111103222063,求A的秩,并找出A的一个最高阶非零子式.第一章矩阵§1.7矩阵的秩性质.设A为sm矩阵,B为sn矩阵,则max{r(A),r(B)}r(A,B)r(A)+r(B).证明:①因为A和B的子式也是分块矩阵(A,B)的子式,所以于是max{r(A),r(B)}r(A,B)成立.r(B)r(A,B).r(A)r(A,

5、B),第一章矩阵§1.7矩阵的秩性质.设A为sm矩阵,B为sn矩阵,则max{r(A),r(B)}r(A,B)r(A)+r(B).证明:②设P1AT=U1,P2BT=U2,其中U1,U2为行最简形矩阵.于是=r(A)+r(B).r(A,B)=r(A,B)T=rATBT=rATBTP1OOP2=rU1U2U1U2的非零行数第一章矩阵§1.7矩阵的秩性质.设A,B均为sn矩阵,则r(A+B)r(A)+r(B).证明:记A=(1,…,n),B=(1,…,n).(A+B,B)=(1+1,…,n+n,1,…,n)(1)(1

6、)…(1,…,n,1,…,n)=(A,B).可见(A+B,B)与(A,B)等价,因而r(A+B,B)=r(A,B)r(A+B)r(A)+r(B).第一章矩阵§1.7矩阵的秩性质.设A为sn矩阵,B为nt矩阵,则r(AB)min{r(A),r(B)}.证明:设A=PQ,ErOOO其中P,Q为可逆矩阵.r(A)=r.对QB进行分块:其中Q1为rt矩阵.Q1Q2QB=,r(AB)=r(PQB)ErOOO于是第一章矩阵§1.7矩阵的秩r(AB)=r(PQB)ErOOO=r(Q1)=r(QB)ErOOO=r(A).又有=r(ErOOOQ1Q2

7、)=rQ1Orr(AB)=r(AB)T=r(BTAT)r(BT)=r(B).所以性质成立.第一章矩阵§1.7矩阵的秩例.设A为sn矩阵,证明r(A)=1的充要条件是存在非零s维列向量和非零n维列向量,使得A=T.证明:(必要性)若r(A)=1,则存在可逆矩阵P和Q使得A=PQ.10…000…0………00…0第一章矩阵§1.7矩阵的秩A=PQ.10…000…0………00…0T=(10…0)1nQ,令=P,10…0s1则可以直接验证为非零的s维列向量,为非零的n维列向量,而且A=T.第一章矩阵§1.7矩阵的秩(充分性)若存在非零

8、s维列向量和非零n维列向量,使得A=T,则r(A)r()=1.设=