矩阵补充习题含答案.doc

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1、第二章矩阵补充习题1．已知对于n阶方阵A，存在自由数k，使得，试证明矩阵E–A可逆，并写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）．【详解】由代数公式以及A与E可交换，有，而故有可知E–A可逆，且有．2．设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数．记分块矩阵，，其中是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是．【分析】本题的关键是对于含的计算或证明题，首先应联想到关系式．另外，在进行矩阵乘法运算中要注意哪些是矩阵，哪些是向量，哪些是数，左乘还是右乘．【详解】（1）因，故=．（2）由（1）可

2、得，而，故．由此可知，的充分必要条件为，即矩阵Q可逆的充分必要条件是．【评注】本题综合考查了矩阵乘法运算、矩阵乘积行列式的性质以及伴随矩阵的性质．要特别注意重要公式：，且A可逆时，有．3．设A和B均为矩阵，则必有(A)(B)AB=BA.(C).(D).【】【详解】矩阵的乘法运算不满足交换律，因此一般,但，而行列式是数，可交换，于是有，可见应选(C).对于(A),(D)，主要考查行列式和矩阵的运算性质，均可通过反例说明不成立。4．设，而为正整数，则.【分析】本题若分别计算出及，再代入求其值，则将问题弄复杂化了。一般而言，对于一个填空题，可先

3、试算,找出规律后，在进行计算。【详解】因为，故有5．设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵，，其中A的逆矩阵为B，则a=.【分析】这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有====,于是有，即，解得由于A<0,故a=-1.6．已知X=AX+B,其中，，求矩阵X.【详解】由X=AX+B,，有(E-A)X=B,于是.而=，故=7．设,,,,其中A可逆，则等于(A).(B).(C).(D).[]【详解】因为是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而是交换第二、三列后所得的初等矩阵，于是有，从而.故正确选

4、项为(C).【评注】设E为n阶单位矩阵，分别是将E交换第两行、第行乘以非零的k倍、将第行的k倍加到第行上去所得到的初等矩阵，则有，对于列变换的情形有类似的结果。8．设阶矩阵与等价,则必有(A)当时,.(B)当时,.(C)当时,.(D)当时,.[]【分析】对A通过一系列初等变换后得矩阵B,则A,B等价.因此矩阵与等价的充要条件是:或存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B.【详解】因为当时,,又与等价,故,即,故选(D).9.设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）.（Ｃ）.　　

5、　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　【】【详解】由题设可得，而　，则有.故应选（Ｂ）.10.设矩阵A=满足，其中是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵.若为三个相等的正数，则为(A).(B)3.(C).(D).[]【分析】题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.【详解】由及，有，其中为的代数余子式，且或而，于是，且故正确选项为(A).【评注】涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展开定理，另一是用公式：11．设A是矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为，则(A)．(B)．(C)．(D

6、)r与的关系由C而定．【】【分析】利用左乘或右乘可逆矩阵不改变被乘矩阵的秩即得结果．【详解】由B=AC知两边同时右乘，得，于是，从而有．12．设矩阵且秩(A)=3，则k=.【分析】由A的秩为3知，A的行列式一定为零，从而可解出参数k.不过应当注意的是若由得到的参数不唯一，则应将参数代回去进行检验，以便确定哪一个为正确答案，因为使得只是必要条件而非充分条件。【详解】由题设秩(A)=3，知必有解得k=1或k=-3.显然k=1时，秩r(A)=1不符合题意，因此一定有k=-3.【评注】在做此类填空题时，排除k=1后可立即得k=-3，不必真的将k=

7、-3代入进行检验。不过若先检验k=-3为正确的时，仍应检验k=1的情形，因为可能两个k值均是正确的。另外，本题也可通过初等变换化A为阶梯形进行分析。