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1、2.3.3直线与平面垂直的性质11.了解垂线段､斜线段及直线和平面所成的角的概念,会进行直线和平面所成的角的计算.2.经过观察探索和转化的办法理解直线与平面的性质定理.3.会运用判定定理和性质定理解题.21.过一点和已知平面垂直的直线______________________.2.过一点和一条直线垂直的平面______________________.3.垂直于同一平面的两条直线________.4.垂直于同一直线的两个平面相互平行.有且只有一条有且只有一个相互平行31.直线垂直平面的性质(数学符号表示)2.证明两条直线平行的
2、方法(数学符号表示).4(3)5典例剖析(学生用书P52)6题型一线线平行问题例1:已知:a⊥α,b⊥α.求证:a∥b.分析:已知条件涉及利用垂直证明两线平行问题,需将两条直线转化到同一平面上,直接证明比较困难,可考虑先作出符合要求的图形.7证明:如右图,设b∩α=O,过O作b′∥a.∵a∥b′,a⊥α.∴b′⊥α.又b⊥α,这样过点O有两条直线b､b′与α垂直,则必有b､b′重合.因此b∥a.8规律技巧:本例若采用直接法证明两直线平行较为困难,故先作出符合要求的图形,然后证明所作图形与已知图形重合,这种证明方法称为同一法.这是
3、直线与平面垂直的性质定理.9变式训练1:已知直线l､m,平面α､β,l⊥α,m⊥β,α∥β,则直线l与m的位置关系式是()A.相交B.异面C.平行D.不确定解析:l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又m⊥β,∴l∥m.答案:C10题型二线线垂直问题例2:如下图,在四面体ABCD中,若AB⊥CD,AD⊥BC,求证:AC⊥BD.分析:要证线线垂直,可先证线面垂直,进而由线面垂直的定义(或性质)得出线线垂直.11证明:过A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则AO⊥CD.∵AB⊥CD,AO∩AB=A,∴CD⊥平面ABO.∵BO平面ABO,∴CD⊥BO
4、.同理BC⊥DO.则O为△BCD的垂心,∴CO⊥BD.12∵AO⊥BD,CO∩AO=O,∴BD⊥平面ACO.又∵AC平面ACO,∴AC⊥BD.13规律技巧:从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用.14变式训练2:如右图,P为△ABC所在平面外的一点,且PA､PB､PC两两垂直,求证:PA⊥BC.15证明:∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,∴PA⊥平面PBC.∵BC平面PBC,∴PA⊥BC.16题型三线面垂直的综合应用例3:如下图,∠BOC在平面α内,OA是α的斜线,若∠AOB=∠AOC=60°,,
5、求OA和平面α所成的角.17△ABC为直角三角形.同理△BOC也为直角三角形.过点A作AH垂直平面α于H,连结OH,18AO=AB=ACOH=BH=CH1920规律技巧:在立体几何中存在许多平面图形,在证题时充分运用平面几何知识是解决立体几何问题的重要途径.21变式训练3:AB和平面M所成的角是α,AC在平面M内,AC与AB在平面M内的射影AB1所成的角是β,设∠BAC=θ,求证α､β､θ满足关系式cosθ=cosα·cosβ.22证明:如右图,在AB和AC确定的平面内作BD⊥AC,D为垂足,连结B1D.∵BB1⊥平面M,AC平
6、面M,∴BB1⊥AC.∵BB1∩BD=B∴AC⊥平面BB1D,AC⊥B1D.在Rt△ADB中,cosθ=AD:AB.在Rt△ABB1中,cosα=AB1:AB.在Rt△ADB1中,cosβ=AD:AB1.23∴cosα·cosβ即cosθ=cosα·cosβ.24易错探究25THANKYOUSUCCESS2021/10/726可编辑例4:(2009·四川高考题)如图,已知六棱锥P——ABCDEF的底是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED
7、.直线PD与平面ABC所成的角为45°27错解:∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA,又BC⊥AB,且PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,又BC在平面PBC内,∴平面PAB⊥平面PBC.故选B.错因分析:正六边形的性质应用失误,导致空间线面位置关系判断错误.28正解:∵PA⊥底面ABC,∴PB在底面上的射影为AB,AB与AD不垂直,排除选项A.由正六边形的性质知BC不垂直AB,∴BC不垂直平面PAB,而BD⊥平面PAB,但BD不在平面PBC内.故排除选项B.对于选项C,∵BD∥AE,BD∥平面PAE,∴BC与平面PAC不平行,排除C
8、.对于D选项,∠PDA为直线PD与平面ABC所成的角,计算知PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°.答案:D29技能演练(学生用书P53)30基础强化1.如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内()A.不存在与l垂直的直线B.存在一条与l垂直的直线C.存在无数条
