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时间:2020-03-07
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1、直线与平面平面与平面垂直的性质思考:1.已知直线和平面,如果,那么的位置关系如何?2.设,且那么直线AB与平面的位置关系如何?3.设平面垂直平面,点P在平面内,过点P作平面的垂线,直线与平面具有什么位置关系?线面、面面垂直的性质定理1.线面垂直性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行(线面垂直→线线平行).2.面面垂直性质定理①:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表示为:若α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l,则a⊥β(面面垂直→线面垂直).3.面面垂直性质定理②:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必
2、在第一个平面内.直线与平面垂直的性质定理的简单应用例1:如图1,在四面体P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,求证:PC⊥AB.图1思维突破:要证线线垂直,可先证线面垂直,进而由线面垂直的定义得出线线垂直.证明:过P作PH⊥平面ABC,垂足为H,连接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC,PA∩PH=P,∴BC⊥平面PAH.又AH⊂平面PAH,∴BC⊥AH.同理AC⊥BH,即H为△ABC的垂心,∴AB⊥CH.∵PH⊥AB,CH∩PH=H,∴AB⊥平面PCH.∵PC⊂平面PCH,∴PC⊥AB.点评:从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用.1-
3、1.已知a、b是两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,a⊥α,b⊥β,则下列命题中不正确的是()BA.若a与b相交,则α与β相交B.若α与β相交,则a与b相交C.若a∥b,则α∥βD.若α⊥β,则a⊥b解析:α与β相交,a与b可能是异面直线.1-2.α、β是两个不同的平面,m、n是α、β之外的两条不同的直线,给出以下四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题___________.①③④→②解析:答案不唯一,如:②③④→①也正确.图2证明:作AH⊥SB于H.∵平面SAB⊥平面SBC,∴AH⊥平面
4、SBC.∴AH⊥BC.又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.又∵AH∩SA=A,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.面面垂直→线面垂直.平面与平面垂直的性质定理的简单应用例2:如图2,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.求证:AB⊥BC.2-1.如图3,四棱锥V-ABCD的底面为矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,且VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.图3证明:∵四边形ABCD为矩形,∴BC⊥AB.又∵面VBA⊥面ABCD,面VBA∩面ABCD=AB,∴BC⊥面VAB.∴BC⊥VA.∵VB⊥面VAD,∴VB⊥VA.∵VB∩BC=B,∴VA⊥
5、面VBC.又∵VA⊂面VAC,∴面VBC⊥面VAC.面面垂直的综合应用例3:如图4,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,AE⊥SB于E点,过E作EF⊥SC于F点.(1)求证:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.图4证明:(1)∵SA⊥平面AC,BC⊂平面AC,∴SA⊥BC.∵四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.又AE⊂平面SBC,∴BC⊥AE.又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC,DC⊂平面AC,∴SA⊥DC.又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD
6、.又AG⊂平面SAD,∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂平面AEF,∴SC⊥AG,且SC∩DC=C,∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.3-1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面,平面PDC与平面ABCD成45°角,M、N分别为AB、PC的中点.求证:平面MND⊥平面PDC.图5证明:如图5,设E为PD中点,连接AE、EN,∵M、N分别为AB、PC中点,∴EN∥DC∥AB,∴四边形AMNE为平行四边形,∴MN∥AE.∴DC⊥AE,DC⊥PD,∴∠PDA是二面角P-DC-A的平面角.∵PDA=45°,又PA⊥AD,∴∠APD=45°,△PAD是等腰直角三角形.∵
7、E为PD的中点,∴AE⊥PD.又∵DC⊥AE,∴AE⊥平面PDC.又MN∥AE,∴MN⊥平面PDC.∴平面MND⊥平面PDC.∵PA⊥矩形ABCD所在的平面,∴PA⊥DC,PA⊥AD.又∵DC⊥AD,∴DC⊥平面PAD,而AE⊂平面PAD.例4:证明:如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.证法一:如图5,在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A,再作PB垂直β与γ的交线于B,则PA⊥α,PB⊥β.∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB.∵α与β相交,∴PA与PB相交.又PA⊂γ,PB⊂γ,∴l⊥γ.图5图6证法
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