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时间：2020-08-12
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1、2014年高考数学冲分练及答案(30)x2y261．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线la2b23与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．c6解(1)由已知得c＝22，＝.a3解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4.x2y2所以椭圆G的方程为＋＝1.124(2)设直线l的方程为y＝x＋m.y＝x＋m由，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①x2y2＋＝1124x＋x设A、B的坐标分别为(x12，y)，(x，y)(x2、221200023mm，y＝x＋m＝；4004因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.m2－4所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2.3m－3＋4此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x＝－3，x＝0.所以y＝－1，y＝2.12123、－3－2＋24、32所以5、AB6、＝32.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，2219所以△PAB的面积S＝7、AB8、·d＝.222．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，中心在原点．若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当9、AM10、＝11、12、AN13、时，求m的取值范围．x2解(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，a2则右焦点F(a2－1，0)，14、a2－1＋2215、由题设＝3，解得a2＝3.2x2故所求椭圆的方程为＋y2＝1.3(2)设P(x，y)，M(x，y)，N(x，y)，P为弦MN的中点，PPMMNNy＝kx＋m，由x得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，2＋y2＝13∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0m2<3k2＋1.①xM＋xN3mk，从而ym，∴x＝＝－＝kx＋m＝P23k＋1PP3k＋122y＋1m＋3k2＋1P∴k＝＝－，APx3mkP又∵16、AM17、＝18、A19、N20、，∴AP⊥MN，m＋3k2＋11则－＝－，即2m＝3k2＋1.②3mkk把②代入①得m2<2m，解得00，解得m>.321综上求得m的取值范围是0)相交于B、C两点．当直线l的1→→斜率是时，AC＝4AB.2(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．11解(1)设B(x，y)，C(x，y)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y112222－4.x2＝2py，由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，x＝2y－421、yy＝4，①12∴8＋py＋y＝，②122→→又∵AC＝4AB，∴y＝4y，③21由①②③及p>0得：y＝1，y＝4，p＝2，12则抛物线G的方程为x2＝4y.(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x，y)，00x2＝4y由得x2－4kx－16k＝0，④y＝kx＋4x＋xCB∴x＝＝2k，y＝k(x＋4)＝2k2＋4k.02001∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，k∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0得：k>0或k<－4.∴b∈(2，＋∞)．x2y24．已知椭圆＋22、＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F，点M(0,2)是椭圆的一个顶点，a2b212△FMF是等腰直角三角形．12(1)求椭圆的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k，k，且121k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点－2，－2.(1)解由已知，可得b＝2，a2＝(2b)2＝8，x2y2所求椭圆方程为＋＝1.84(2)证明设A，B两点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，1122若直线AB的斜率存在，设方程为y＝kx＋m，x2y2＋＝1，由84得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.y＝kx＋m，4km2m2－8则x＋x＝23、－，xx＝.12121＋2k21＋2k2y－2y－2由k12＋k＝8，得＋＝8，12xx12kx＋m－2kx＋m－2所以1＋2＝8，xx12x＋x即2k＋(m－2)·12＝8.xx12mk1所以k－＝4，整理得m＝k－2.m＋221故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，2即y＝k1－2.x＋21所以直线AB过定点－，－2.2若直线AB的斜率不存在，设AB的方程为x＝x，0y－2－y－2设A(x00，y)，B
2、221200023mm，y＝x＋m＝；4004因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.m2－4所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2.3m－3＋4此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x＝－3，x＝0.所以y＝－1，y＝2.1212
3、－3－2＋2
4、32所以
5、AB
6、＝32.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，2219所以△PAB的面积S＝
7、AB
8、·d＝.222．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，中心在原点．若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当
9、AM
10、＝
11、
12、AN
13、时，求m的取值范围．x2解(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，a2则右焦点F(a2－1，0)，
14、a2－1＋22
15、由题设＝3，解得a2＝3.2x2故所求椭圆的方程为＋y2＝1.3(2)设P(x，y)，M(x，y)，N(x，y)，P为弦MN的中点，PPMMNNy＝kx＋m，由x得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，2＋y2＝13∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0m2<3k2＋1.①xM＋xN3mk，从而ym，∴x＝＝－＝kx＋m＝P23k＋1PP3k＋122y＋1m＋3k2＋1P∴k＝＝－，APx3mkP又∵
16、AM
17、＝
18、A
19、N
20、，∴AP⊥MN，m＋3k2＋11则－＝－，即2m＝3k2＋1.②3mkk把②代入①得m2<2m，解得00，解得m>.321综上求得m的取值范围是0)相交于B、C两点．当直线l的1→→斜率是时，AC＝4AB.2(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．11解(1)设B(x，y)，C(x，y)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y112222－4.x2＝2py，由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，x＝2y－4
21、yy＝4，①12∴8＋py＋y＝，②122→→又∵AC＝4AB，∴y＝4y，③21由①②③及p>0得：y＝1，y＝4，p＝2，12则抛物线G的方程为x2＝4y.(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x，y)，00x2＝4y由得x2－4kx－16k＝0，④y＝kx＋4x＋xCB∴x＝＝2k，y＝k(x＋4)＝2k2＋4k.02001∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，k∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0得：k>0或k<－4.∴b∈(2，＋∞)．x2y24．已知椭圆＋
22、＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F，点M(0,2)是椭圆的一个顶点，a2b212△FMF是等腰直角三角形．12(1)求椭圆的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k，k，且121k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点－2，－2.(1)解由已知，可得b＝2，a2＝(2b)2＝8，x2y2所求椭圆方程为＋＝1.84(2)证明设A，B两点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，1122若直线AB的斜率存在，设方程为y＝kx＋m，x2y2＋＝1，由84得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.y＝kx＋m，4km2m2－8则x＋x＝
23、－，xx＝.12121＋2k21＋2k2y－2y－2由k12＋k＝8，得＋＝8，12xx12kx＋m－2kx＋m－2所以1＋2＝8，xx12x＋x即2k＋(m－2)·12＝8.xx12mk1所以k－＝4，整理得m＝k－2.m＋221故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，2即y＝k1－2.x＋21所以直线AB过定点－，－2.2若直线AB的斜率不存在，设AB的方程为x＝x，0y－2－y－2设A(x00，y)，B
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