高中物理竞赛曲线运动万有引力习题 .pdf

《高中物理竞赛曲线运动万有引力习题 .pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、高中物理竞赛——曲线运动、万有引力习题一、小船渡河物理情形：在宽度为d的河中，水流速度v恒定。岸边有一艘小船，保持相2对河水恒定的速率v渡河，但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间1和最小位移。模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度v1和水相对河岸的速度v合成。可以设船头与河岸上游夹角为θ（即v的方向），21速度矢量合成如图1（学生活动）用余弦定理可求v的大小合v=v2v22vvcos合1212（学生活动）用正弦定理可求v的方向。令v与河岸下游夹角为α，则合合vsinα=arcsin

2、1v2v22vvcos12121、求渡河的时间与最短时间由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求。针对这一思想，有以下两种解法S解法一：t=合v合d/sind其中v可用正弦定理表达，故有t==合vsinvsin11sinS解法二：t=1=v1d/sind=vvsin11此外，结合静力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x、y，然后先将v分解（v无需分解），再合成，如图2所示。12而且不难看出，合运动在x、y方向的分量v和v与v在x、y方向的分量v

3、、xy11xv以及v具有以下关系1y2v=vy1yv=v-vx21x由于合运动沿y方向的分量S≡d，故有ySdd解法三：t=y==vvvsiny1y1t(θ)函数既已得出，我们不难得出结论d当θ=90°时，渡河时间的最小值t=minv1（从“解法三”我们最容易理解t为什么与v无关，故t也与v无关。这2min2个结论是意味深长的。）2、求渡河的位移和最小位移在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即dddv2v22vvconS===1212合sinvvsin1sin1v合但S（θ）函数比较复杂，寻求S的极小

4、值并非易事。因此，我们可以从合合其它方面作一些努力。将S沿x、y方向分解成S和S，因为S≡d，要S极小，只要S极小合xyy合x就行了。而S（θ）函数可以这样求——xSd解法一：S=vt=（v-v）y=（v–vcosθ）xx21xv21vsiny1为求极值，令cosθ=p，则sinθ=1p2，再将上式两边平方、整理，得到v2(S2d2)p22vvd2pd2v2S2v201x122x1这是一个关于p的一元二次方程，要p有解，须满足Δ≥0，即4v2v2d4≥4v2(S2d2)(d2v2S2v2)121x2x1

5、整理得S2v2≥d2(v2v2)x121dv所以，S=v2v2，代入S（θ）函数可知，此时cosθ=1xminv21xv12v最后，S=S2S2=2dminxminyv1此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。结论得出后，我们还不难发现一个问题：当v＜v时，S＜d，这显然与事实不符。（造成这个局面的原因是：在以21min上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉。解法二：纯物理解——矢量三角形的动态分析从图2可知，S恒定，S越小，必有S矢量与下游河岸的夹角越大，亦即

6、vyx合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于90°）。合我们可以通过v与v合成v矢量图探讨v与下游河岸夹角的最大可能。12合合先进行平行四边形到三角形的变换，如图3所示。当θ变化时，v矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图4所示。合从图4不难看出，只有当v和虚线半圆周相切时，v与v（下游）的夹角合合2v才会最大。此时，v⊥v，v、v和v构成一个直角三角形，α=arcsin1合112合maxv2并且，此时：θ=varccos1v2v有了α的值，结合图1可以求出：S=2dmax合minv1最后解决v＜v时结果不切实际的问题。

7、从图4可以看出，当v＜v时，v2121合v不可能和虚线半圆周相切（或α=arcsin1无解），结合实际情况，α取maxvmax290°v即：v＜v时，S=d，此时，θ=arccos221合minv1vv结论：若v＜v，θ=arccos1时，S=2d12v合minv21v若v＜v，θ=arccos2时，S=d21v合min1二、滑轮小船物理情形：如图5所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度v和小船速度1v的大小关系。2模型分析：由于绳不可伸长，滑轮右边绳子

8、缩短的速率即是汽车速度的大小v，1考查绳与船相连的端点运动情况，v和v12必有一个运动的合成与分解的问题。（学生活动）如果v恒定不变，v会恒定12吗？若恒定，说明理由；若变化，定性判断变化趋势。结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v→v。当船比较靠岸时，可作图比较船的移动距离、绳