贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座第十一讲等腰三角形的性质.pdf

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1、第十一讲等腰三角形的性质若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径．例题求解【例1】如图AOB是一钢架，

2、且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．(山东省聊城市中考题)思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值．注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系．随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择．【例2】如图，若AB=AC，BG＝B

3、H，AK=KG，则∠BAC的度数为（)A．30°D．32°C36°D．40°(武汉市选拔赛试题)思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程．【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由．(安徽省竞赛题改编题)思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分

4、线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线．1【例4】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=BD．求2证：BD是∠ABC的角平分线．(北京市竞赛题)思路点拨AE边上的高与∠ABC的平分线重合，联想到等腰三角形，通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形．注若巳知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助战，构造全等三角形，使欲证的线段或角转移位置，最终使问题得以解决．结论探索型、条件探索型、存在性判断是探索型问题的基本形式，相应的解题策略是：(1)通过对符合条件的特例或简单情

5、形的分析、观察、猜想结果，再给出证明；(2)假设结论成立，逆推追寻相应的条件；(3)假设在题设条件下的某一数学对象存在，进行推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定的结论．【例5】如图，在△ABC中，已知∠C＝60°，AC>BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC(1)证明：△C′BD≌△B′DC；(2)证明：△AC′D≌△DB′A；(3)对△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB′，从面积大小关系上，你能得出什么结论?(江苏省竞赛题)思路点拨(1)是基础，(2)是(1)的自然推论，

6、(3)由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键．学力训练1．如图，△ABC中，已知AD＝AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是．(济南市中考题)2．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为．3．△ABC中，AB＝AC，∠A=40°，BP=CE，BD=CP，则∠DPF=度．4．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是．(烟台市中考题)5．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是()A．1

7、40°B．80°或100°C．100°或140°D．80°或140°6．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于1点F、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形，③S=S；④EF=AP．当四边形AEPF2ABC∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的是()A．1个B．2个C．3个D．4个(苏州市中考题)7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝AE，BC＝BF，则∠ECF＝()A．60°B．45°C．30°D．不确定8

8、．如图，在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是()A．45°D