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1、第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念第一课时教学目标1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.重点难点教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学过程导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老
2、鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.图1推进新课提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？③数量与向量的区别在哪里？①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的
3、向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a→来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向
4、量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.⑥是共
5、线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.应用示例例1如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.图5分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有
6、向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且
7、AB
8、≈232km;(AB长度×8000000÷100000)AC表示A地至C地的位移,且
9、AC
10、≈296km.(AC长度×8000000÷100000)变式训练一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.例2判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD中,AB与CD是共线向量;(2)单位向量都相等.解:(1)正确;(2)不正确.图8例3如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与OA、O
11、B、OC、相等的量.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.例4下列命题正确的是()A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行答案:C变式训练1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量
