数学分析专题选讲教案(51).pdf

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1、楚雄师范学院数学系课程教案--数学分析专题选讲教案5-1--教案15(数学分析专题选讲,周学时三节,单四双二)周第10周(2009.4.27-2009.5.3)次第五专题无穷级数与无穷积分中的若干基本方法课§5.1无穷级数与无穷积分的比较（自学）题§5.2无穷级数敛散性的判定学2学时时教学无穷级数敛散性的判定内容（主要）教1.能熟练判定无穷级数敛散性学目标教学1.判定无穷级数敛散性的技能技巧重点教学1.判定无穷级数敛散性的技能技巧难点教学1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法方法2.借助多媒体辅助教学与手段§5.2无穷级数敛散性的

2、判定例1.讨论下列级数敛散性.1n312n22n(1).1sin;n2n4n32n1n1教n学ncos331进(2).1narctann1n21.3nn程n1(教n3n2n3学设111证明:(1).因为limn1lim1e1,故1发散.计)nn2nn2n2n112n22n12n22n112n22n又由于sin,故sin收敛.n4n32n1n4n32n1n2n4n32n1n11n312

3、n22n故1sin发散.n2n4n32n1n1nnncos3ncos33nnnn13(2).因为,且limnlim1,于是收敛.3n3nn3nn333nn11又arctann1n21,故arctann1n21单调有界,1n收敛,于是阿贝尔2nn1判别法11narctann1n21nn1收敛.nncos331故1narctann1n21收敛.3nnn11例2.若a是收敛的正项级数,且b2收敛,证明:当

4、时nn2n1n1a1nbsinnn2142n1n2绝对收敛.证明:(1).因为a110n(a);n2nn211111bsinbbb2,n21n21n212nn8241424242n2n2n21a1故当时,nbsin绝对收敛.2nn2142n1n2kn2sin14例3.设limnn2a1,证明:当k时,a收敛.n3nnn1a证明：由已知条件limn1,a是正项级数.1nnkn2sinnn2

5、n1又1sin1n21n2sinkn2sin1n2110nn2,n2nknk11sinsinn21n21且lim1,故对0,存在N0,当nN时,1,即当1414nn2n21sin3n25nN时,.414n2于是,当nN时1sin1n231n2sin11kn2sin1n21140nn2.n2nknknk3kn44kn2sin14故当k时,nn2收敛,于是当k时,a收敛.33nn1n1例4.判定下列级数是条件收敛还是绝对收敛?n3(1).

6、1nn1nln;n1n1n3n751(2).1nen21.n2n1解:(1).因为1nun1nlnn31ln12nn1n1nn112:;n1nn1123n1nn1n22而limlim1,1n1nn1nn3n212n3故收敛.于是1nn1nln绝对收敛.n1nn1n1n1n1(2).因为n31n7n21n6n5n4ne21e21n2n2n21n261111n2n2

7、1111n4n6ln1n4non4n4n6on6oe2en2e2en22n46n6n6e226n6e6n6,n3n713n7n511e1nen5n11故limne261,于是2绝对收敛.nn2n2n11n例5.判定是条件收敛还是绝对收敛.21n1n43n214241n解:(1).当1时,发散.21n1n43n2142411(2).当1时,u