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《数学分析专题选讲教案(4.1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、楚雄师范学院数学系课程教案--数学分析专题选讲教案4-1--教案11(数学分析专题选讲,周学时三节,单四双二)周次第7周(2009.4.6-2009.4.12)课题第四专题定积分中的若干基本方法§4.1定积分与极限§4.2积分上限函数学时2学时教学内容（主要）一.定积分与极限一.积分上限函数教学目标1.深刻理解定积分与极限的关系2.能熟练应用定积分求极限3.深刻理解积分上限函数4.能熟练应用积分上限函数性质解决问题教学重点1.应用定积分求极限的技能技巧2.应用积分上限函数性质解决问题的技能技巧教学难点1.应用定积分求极限的技能技巧2.应用积分上限函数性质解
2、决问题的技能技巧教学方法与手段1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法2.借助多媒体辅助教学教学进程(教学设计)第四专题定积分中的若干基本方法§4.1定积分与极限若在可积，则对任意的分法,对任意的,令,有.(Ⅰ).若将分成等份,则,,.(1).取,则.(2).取,则87.特别..(Ⅱ).若将分成份,则(1).取,则.(2).取,则.(Ⅲ).若将分成份,使点分构成等比数列,则,,,.(1).取,则.(2).取,则.例1.求下列极限(1).;(2).;(3)..解:(1).=.(2).=..87(3).=.例2.证明:存在正
3、数，对，有.证明:因为==,于是存在正数,对,有,即.例3.证明:.证明:令,则===.故.例4.证明:.87证明:分法将分成份,其中,.取,则.例5.证明:.证明:令,则,故.又,,故.例6.证明:.解:因为,87且,故.例7.证明:.证明:令,则.而,,故.例8.证明:.证明:令,则.于是,故.87因此.§4.2积分上限函数定理1.若在连续,则在可导,且.定理2.若在可积,则在连续.例1.设在连续,且,,证明:存在,使得.证明:令,则因在连续,故.而,故,于是由中值定理,存在使得,即存在,使得.例2.设有二阶连续导数,且,,时,与是同阶无穷小,求.证明
4、:因为,故,,,于是时,,即时,与是同阶无穷小.例3.设在连续,,且.求.87证明:(1).由于,故,于是.当时,,故.当,.故例4.设在单调不减,且,,且证明:(1).在内连续;(2).讨论取何值时,在单增.解:(1).时,显然连续.因为,故,于是在右连续.因此在连续.(2).因为=.故时,在单增.例5.设是上的任一非负的连续函数,证明:存在唯一的使得在区间上以为高的矩形面积,等于在区间上以87为曲边的曲边梯形的面积,即.证明:(1).令,则.因为在连续,在内可导,且,于是由中值定理,存在使,即.（2）.因为,于是在单调,故是唯一的.例6.设,在可导,,
5、且,,证明:存在使,.证明:令,则,,且.故.于是,,,由中值定理存在使,即存在使.又由中值定理,存在使,即存在使.例7.设在具有四阶连续导数,.证明:存在使.证明:,我们有（在0与之间）.因在连续,故存在与使,,于是,87.故由连续函数的介值性定理,至少存在,使.例8.设在连续,在可导,且,若存在，证明:(1).;(2).存在使.证明:(1).因为存在,故.而在上连续,故.又,故在严格单减,于是,.(2).令,,则由中值定理,存在,使得.又由中值定理,存在,使得,即.故.例9.证明:.证明:设,则存在,使得,于是,,,,,,,,87,.故.例10.设在连
6、续,在可导,,且.证明:(1).存在,使得;(2)..证明:(1).令,则由存在,使得,,即.(2).由(1)得,而;,故,于是.课后教学总结87课外作业习题4.1:1,2.习题4.2:3,6,27.实践与思考单元测试与分析87
