寒假六年级奥数零基础班讲义第十三讲数论综合(一).pdf

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1、数论综合（一）第一板块：质数与合数森森大课堂质数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数(也叫做素数)。合数：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。注意：①0和1不是质数，也不是合数。②常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。③除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点。⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3

2、，7或9。这也是很多题解题思路，需要大家注意。判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P的质数p(均为整数)，使得p能够整除P，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P，我们可以先找一个大于且接近P的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除P，如没有能够除尽的那么P就为质数。例如：149很接近144＝12×12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。(★★)有1个2n＋1位整数，(n是整数，n≥1)，22L22311L11是质数还是合数？n个2n

3、个1(★★)已知P是质数，P2＋1也是质数，求P5＋1997是多少？(★★)如果a，b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b_______。第二板块：约数个数及和定理(★★)⑴请把111555分解质因数(写成分解质因数的标准式)；⑵111555可以写成两个连续奇数的乘积，这两个奇数之和是多少？森森大课堂一、质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。二、唯一分解定理：任何一个大于1的自然数都可以写成质数的连乘

4、积，即：npapapaLpa123k123k(★★)三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。三、部分特殊数的分解：111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；1995＝3×5×7×19；1998＝2×3×3×3×37；2007＝3×3×223；2008＝2×2×2×251；2009＝72×41；10101＝3×7×13×37最小的3位质数是101，最小的4位质数是1009。(★★)16613个质数的倒数之和是，则这3个质数之和为多少？1986第三板块：约数与倍数森森大课堂1．因数和倍数的定义：如果一

5、个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的因数(或约数)。2．最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公因数。在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数。例如(8，12)＝4，(6，9，15)＝3。3．最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。例如：(8，12)＝24，(6，9，15)＝90。4．求最大公因数的方法：①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的

6、因数连乘起来。例如：231＝3×7×11，252＝22×32×7，所以(231，252)＝3×7＝21；又如：24＝23×3，36＝22×32，所以(24，36)＝22×3＝12；②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘。21812例如：396，所以(12，18)＝2×3＝6；32③辗转相除法5．求最小公倍数的方法：①分解质因数法：先分解质因数，然后把所有出现过的因数连乘起来，相同的只乘一次。例如：231＝3×7×11，252＝22×32×7，所以[231，252]＝22×32×7×11＝2772；又如：24＝23×3，36＝22×32，所以(24，36)＝23

7、×32＝72；②短除法：先找所有包含的因数，然后相乘。(★★)(北大附中入学考题)把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？(★★)(西城区13中入学试题)111一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生732不满50人，那么得差的学生有多少人。