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1、微分中值定理应用举例单调性与极值1.函数在上，比较的大小.解：在上满足拉氏中值定理条件，存在，使得.由于，所以单调增加，而，所以，即.2.函数在上，比较的大小.解：由于，所以单调增加，而，所以在上，同上题讨论有3.在内,判断在内的符号.解：，所以在内为奇函数，为偶函数，为奇函数，在内，所以在内.4.已知函数在区间内具有二阶导数,且严格递增,，则：A.在内均有；B.在内均有；C.在内均有，在内均有；D.在内均有，在内均有.解：令，则，0减0增极小值选择B.5.设处处可导,则A.必；B.必C.必；D.必解：选择D(A,C的反例，B的反例)6.设函数在上有界且可导，则A.必;B.存在，
2、必；C.必;D.存在，必；解：选择A(B,C,D的反例)7.设函数在的邻域内连续,且，，则在处A.不可导;B.可导,且;C.取极大值;D.取极小值解：所以所以在可导，且.，而，所以在的某邻域内，所以在处取极小值.8.为恒大于0的可导函数,且，则当时A.；B.;C.;D.解：，所以为减函数，即当时，又为恒大于0，所以，选择A9.设有二阶连续导数,且，A.是的极大值;B.是的极小值;C.是曲线的拐点;D.不是的极值;也不是曲线的拐点.解：，所以在的邻域内，即曲线是凹的，又，所以是的极小值.选择B10.设函数在的某个邻域内连续,为的极大值,则存在,当时,必有:A.；B.;C.；D..解
3、：为的极大值，则存在，和时，都有，所以时,，所以A,B都不正确.，由于，所以.选择C11.设函数在内有定义,是函数的极大值点,则A.必是的驻点;B.必是的极小值点C.必是的极小值点;D.对一切都有解：选择B12.，则在处A.导数存在,且；B.取极大值;C.取极小值;D.导数不存在解：，所以在的某去心邻域内有，所以在处，取极大值.9.证明：的最大值证明：令，，，所以时，且时，时，所以时的唯一极大值，也是最大值.而的最大值必是中的一个，而，所以是的最大值.不等式的证明1.当时，证明：；证明：令，所以时单调减，而，所以时，，即.2.当时，证明：；证明：时，令，，单调减，而，所以时，，即
4、.方法二，时，，令，则在区间上用拉格朗日中值定理有：其中，所以，即有.3.证明：；证明：设则，令，得唯一驻点，所以是的极小值点，所以又所以，即.4.当，证明；证明：因为，所以，所证等价于零，则，所以时单调增加，而，所以，即，即.5.，证明：；证明：只需证令，则，所以单调减少，而，所以时即单调减少，而，所以时，即，即.6.设，证明：证明：只需证明，设，，所以单调增加，又，所以时，故单调增加.因此，时，而，所以，即时，.所以.7．设在上可导，且单调递减，证明：对任意正数，都有证明：不妨设，令则，当时有，由于单调递减所以，即，所以单调增，即时所以时，，即.8.设，证明：；证明：存在，所
5、以可导，所以可导连续，又，所以，既有令，，，所以是的唯一极小值点，所以，既有.9.，证明：；证明：令，令，，所以时，单调减，所以，而此时，所以，而所以时，时，，所以在时单调减少，且，所以时，即.10.，证明：；证明：令，则，令由上题知时，，所以即在时单调减少.所以时，，所以，即11.证明：时，；证明：令，，时，，曲线在上是凸的，而，时，，即.12.设在上函数有连续导数，且.证明：在内有且仅有一个零点.证明：令，则.所以，在内单调增加，时，，所以.所以，存在，，又，所以在内有根，又，所以单调增加，所以在内有且仅有一个零点.13.设在连续在内存在且大于零，记，证明：在单调增证明：令，
6、则时，所以，所以，即在单调增.关于根的存在及个数问题1.已知，讨论实根的个数.解：令，，令，由于，所以没有根，既有由于，由于在内连续，所以至少有一个根.如果方程有两个实根，则在内满足拉格朗日中值定理，所以存在，使得，这矛盾，所以只有一个实根.练习：设函数在闭区间上可微,对上的任意,函数的值都在开区间内,且，证明:在内有且仅有一个使得（令）2.求证方程恰有一个实根.(其中为常数,)证明：令，取，则，由在上连续，由介值定理知，存在，使得，所以方程有一个实根.又，由于，所以，即单调增，所以只有一个实根.3.设，求在内根的个数.解：，得唯一驻点，且为函数极小值点，所以在内根的个数为0.练
7、习：确定方程在内根的个数4.时,有且仅有一解,求的取值范围.解：令，时,有且仅有一解，所以必存在，使得时，，所以，反之，如果时，所以单调减，所以有且仅有一解.5.设在上连续，在内可导，且，，证明：1）存在，；2）对任意的，存在，使得分析：要构造一个函数，使其导数中含有因子，且，由于，是的导数，所以可设下面确定，由于，比较，只需，所以证明：6.设函数在上连续且可导，又则对任意，存在，使分析：所证为，所以，令，如果，在上用罗尔定理，如果，则异号，所以存在，使，在上用罗尔定理7..设函
